Sprawdź czy ciąg jest monotoniczny i ograniczony. Kck: Może mi ktoś łopatologicznie wytłumaczyć kroki potrzebne by udowodnić że dany ciąg jest monotoniczny i ograniczony? Znam definicje ciągu ograniczonego i kiedy ciąg jest monotoniczny ale nie potrafię ich zastosować. Taki przykład: a₂=ⁿ_2ⁿ. Zacząłem: a_n+1 − a_n = ⁿ⁺¹_2ⁿ⁺¹ − ⁿ_2ⁿ = ^{(n+1)*2n−n*(2n+1)}_(2ⁿ⁺¹)*2ⁿ i nie wiem co dalej.

ABC:

	n
czy to miało być		?
	2n

Kck: Tak. Nie wiem dlaczego formatowanie tak wyszło.

wredulus_pospolitus: Bo używasz u zamiast U do zapisu ułamków:

	1
1√27 a nie
	√27

wredulus_pospolitus: Monotoniczność:

an+1		n+1   2n+1		n+1		1		1
	=		=		=		+		< 1 (dla n>1)
an		n   2n		2n		2		2n

Ograniczoność: Skoro jest malejący ... to znaczy, że a₁ jest ograniczeniem górnym. Ograniczenie dolne: a_n > 0 (ponieważ zarówno licznik jak i mianownik to liczby dodatnie) koooniec

Kck:

	n
A więc przykład: a2 =
	2n

	n+1		n
A do tego momentu doszedłem: an+1−an =		−		=
	2n+1		2n

	(n+1)*2n−n(2n+1)
	(2n+1*2n)

wredulus_pospolitus:

	an+1
tak jak napisałem ... zamiast an+1 − an zbadaj
	an

wredulus_pospolitus: ale jak już masz a_n+1 − a_n to: licznik: (n+1)*2ⁿ − n(2ⁿ⁺¹) = n*2ⁿ + 2ⁿ − 2*n*2ⁿ = 2ⁿ − n*2ⁿ = (1−n)*2ⁿ < 0

chichi: @wredulus₋pospolitus dlaczego badany jest iloraz, a nie różnica? Ten ciąg jest nierosnący

wredulus_pospolitus: @chichi −−− bo jak widzę ułamek i potęgi to robię iloraz, aby się 'ładnie skracało' co nie oznacza, że trzeba badać ilorazem. Po prostu preferuję (w takich przypadkach) iloraz

chichi: Fakt, może tutaj będzie wygodniej badać iloraz

Kck: A to można tak sobie wybierać co się chce? Różnicę, iloraz i co jeszcze?

wredulus_pospolitus: to są dwa najpopularniejsze ... mała szansa abyś miał/−a konieczność skorzystania z innego kryterium

Kck: Eh, ja nowy jeżeli chodzi o analizę matematyczną. Zmiata z planszy