proszę o rozwiązanie
anna: | | 8 | | 3 | |
Funkcja f określona jest wzorem f(x) = x4 − |
| x3 + |
| x2 − 13x + 7 |
| | 3 | | 2 | |
dla każdej liczby rzeczywistej x . Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji f ,
które są równoległe do prostej o równaniu 7x + y + 3 = 0 .
obliczyłam pochodną
f
,(x) = 4x
3 − 8x
2 +3x −13
4x
3 − 8x
2 +3x −13 =0
ale nie mogę znaleźć jaka liczba spełnia to równanie
6 paź 13:42
wakacje: Równania stycznych są postaci: y=f'(x
0)(x−x
0)+f(x
0)
Zauważ, że współczynnik kierunkowy prostej równy jest f'(x
0), a wiemy, że te proste są
równoległe do prostej y=−7x−3, zatem musimy rozwiązać nierówność:
f'(x)=−7 (a nie f'(x)=0, tak jak Ty rozwiązujesz)
4x
3−8x
2+3x−13=−7
4x
3−8x
2+3x−6=0
4(x
3−2x
2)+3(x−2)=0
4x
2(x−2)+3(x−2)=0
| | 55 | |
(x−2)(4x2+3)=0 → x=2 → f(2)=− |
| |
| | 3 | |
y=f'(x
0)(x−x
0)+f(x
0)
6 paź 13:50
wakacje: Nierówność.. równanie*
6 paź 13:54
anna: dziękuję
6 paź 14:08
Mariusz:
wakacje , gdyby zadanie było sformułowane następująco
Znajdź miejsca zerowe funkcji f(x) to byś sobie poradził , czy musiałbyś o tym trochę poczytać
7 paź 17:03
wakacje: Mariusz, moim początkowym pomysłem było zapisanie funkcji f jako iloczyn
(ax2+bx+c)(dx2+ex+f), ale w tym sposobie równań wyjdzie pięć (stopień wielomianu+1), a
niewiadomych 6, więc nie tędy droga − także na ten moment nie miałbym chyba na to pomysłu
7 paź 20:28
Mariusz:
Twój pomysł jest dobry choć doprowadzenie najpierw do różnicy kwadratów
wymagałoby mniej obliczeń
Jeśli chodzi o twój pomysł to można było przyjąć że a = 1 oraz d = 1
a byłoby mniej współczynników
Tutaj współczynnik wiodący wielomianu jest już jedynką ale zawsze można równanie podzielić
obustronnie przez ten współczynnik
Po wymnożeniu trójmianów kwadratowych i porównaniu współczynników
dostałbyś układ równań którego rozwiązanie wymaga rozwiązania równania szóstego stopnia
To równanie szóstego stopnia można podstawieniem
b = y + h sprowadzić do równania trzeciego stopnia na y2
(oczywiście h musiałbyś odpowiednio dobrać)
7 paź 21:38
wakacje: Mariusz, przyjąłem tak jak mówisz: a=d=1 i wyszło mi, że:
(x2+bx+c)(x2+ex+f)=x4+x3(b+e)+x2(f+be+c)+x(bf+ce)+cf
2c(56−39c)2+16c(56−39c)(c2−7)+27c(c2−7)2−18c2(c2−7)2−126(c2−7)2=0
−18c6+27c5−498c4+3560c3−3486c2+1323c−6174=0
O takim równaniu 6−go stopnia mowiłeś?
7 paź 22:37
wakacje: Tylko że jak takie równanie sprowadzić do równania trzeciego stopnia? Jeśli zrobimy
podstawienie c=y+h, gdzie załóżmy, h∊ℤ, to takie równanie nadal będzie równaniem stopnia 6−go.
Kojarzy mi się to ze schematem rozwiązywania ogólnego równania 3−go stopnia, gdzie robiło się
bodajże właśnie podobne podstawienie, ale nie powodowało to obniżenia stopnia wielomianu,
tylko redukcję współczynników stojących przy 'x2'
Czy to ma coś z tym wspólnego?
7 paź 22:51
Mariusz:
" Tylko że jak takie równanie sprowadzić do równania trzeciego stopnia? Jeśli zrobimy
podstawienie c=y+h, gdzie załóżmy, h∊ℤ, to takie równanie nadal będzie
równaniem stopnia 6−go."
No tak tylko tutaj mamy do czynienia ze szczególną postacią równania szóstego stopnia
i po zaproponowanym przeze mnie podstawieniu
wyzerują ci się wszystkie wyrazy z nieparzystą potęgą a nie tylko ten z piątą potęgą
Gdy ci się wyzerują wszystkie wyrazy z nieparzystą potęgą to będziesz mógł to równanie
rozwiązywać jak równanie trzeciego stopnia pamiętając o wzięciu pierwiastka z wyniku
i powrocie do poprzedniej zmiennej
To że po tym podstawieniu mają ci się wyzerować wszystkie wyrazy o nieparzystych potęgach
może być pewnego rodzaju kontrolą poprawności obliczeń
Jeżeli po podstawieniu b = y + h nie wyzerowały ci się wszystkie wyrazy o nieparzystych
potęgach będzie to znaczyło że gdzieś popełniłeś błąd
Po wymnożeniu tych trójmianów kwadratowych porównujesz współczynniki
aby uzyskać układ równań
Dopiero w trakcie rozwiązywania układu równań dostaniesz równanie szóstego stopnia
Zakładam że we wpisie z 7 paź 2021 22:37 dobrze wymnożyłeś te trójmiany kwadratowe
Po uzyskaniu wielomianu x
4+x
3(b+e)+x
2(f+be+c)+x(bf+ce)+cf
powinieneś porównać współczynniki przy wielomianach
x
4+x
3(b+e)+x
2(f+be+c)+x(bf+ce)+cf
oraz
Po porównaniu współczynników dostajesz układ równań
którego rozwiązanie wymaga rozwiązania równania szóstego stopnia
Po podstawieniu b = y+h
łatwo wyzerować współczynniki przy wszystkich nieparzystych potęgach
h nie musi być całkowite − dobierasz je tak aby wyzerować
współczynnik przy wyrazie z piątej potęgą
Wtedy jeżeli się nie pomyliłeś współczynniki w pozostałych wyrazach przy nieparzystej potędze
także powinny się wyzerować
"Kojarzy mi się to ze schematem rozwiązywania ogólnego równania 3−go stopnia"
Akurat tutaj mamy coś więcej bo zerują nam się wszystkie wyrazy o nieparzystych potęgach
a tak wyzerowałby się nam tylko wyraz z piątą potęgą
Dokładnie to samo co w tym schemacie o którym wspomniałeś byśmy mieli
gdybyśmy na samym początku rozwiązywania równania wyzerowali wyraz z trzecią potęgą
Czy o to równanie mi chodziło ?
Nie wiem jak je uzyskałeś i musiałbym samemu to sprawdzić
8 paź 10:38
Mariusz:
(x
2+bx+c)(x
2+ex+f)=x
4+a
3x
3+a
2x
2+a
1x+a
0
x
4+ex
3+fx
2+bx
3+bex
2+bfx+cx
2+cex+cf=x
4+a
3x
3+a
2x
2+a
1x+a
0
x
4+(b+e)x
3+(c+f+be)x
2+(bf+ce)x+cf=x
4+a
3x
3+a
2x
2+a
1x+a
0
b+e = a
3
c+f+be = a
2
bf+ce = a
1
cf = a
0
e = a
3−b
f = a
2−c−be
bf+ce = a
1
cf = a
0
e = a
3−b
f = a
2−c−a
3b+b
2
b(a
2−c−a
3b+b
2)+c(a
3−b)=a
1
cf = a
0
e = a
3−b
(−2b+a
3)c+b
3−a
3b
2+a
2b=a
1
f = a
2−c−a
3b+b
2
cf = a
0
Teraz za (2b−a
3) możesz przyjąć inną zmienną np g
e = a
3−b
gc=b
3−a
3b
2+a
2b−a
1
| | b3−a3b2+a2b−a1 | |
f = a2−a3b+b2− |
| |
| | g | |
cf = a
0
e = a
3−b
| | a2g−a3bg+b2g−b3+a3b2−a2b+a1 | |
f= |
| |
| | g | |
cf = a
0
Teraz w wyrażeniu na c oraz f trzeba wyrazić b za pomocą zmiennej g
e = a
3−b
| | 8a2g−8a3bg+8b2g−8b3+8a3b2−8a2b+8a1 | |
f= |
| |
| | 8g | |
cf = a
0
e = a
3−b
| | (g+a3)3−2a3(g+a3)2+4a2(g+a3)−8a1 | |
c = |
| |
| | 8g | |
| | 8a2g−4a3(g+a3)g+2(g+a3)2g−(g+a3)3 | |
f = |
| + |
| | 8g | |
| 2a3(g+a3)2−4a2(g+a3)+8a1 | |
| |
| 8g | |
cf − a
0 = 0
cf − a
0 = 0
Powyższe równanie powinno być równaniem szóstego stopnia
ale o niezerowych współczynnikach tylko przy parzystych potęgach
więc można będzie je rozwiązać tak jak równanie trzeciego stopnia
8 paź 11:57
wakacje: Na samym początku powiem, że to nie wyszło, także Mariusz nie marnuj czasu i nie sprawdzaj
nawet.
cf=a
0
Podstawienie: g+a
3=v, ale g=2b−a
3, stąd: v=2b
| | 8a2g−4a3vg+2v2g−v3+2a3v2−4a2v+8a1 | |
oraz f= |
| |
| | 8g | |
| | (v3−2a3v2+4a2v−8a1)(8a2g−4a3vg+2v2g−v3+2a3v2−4a2v+8a1) | |
→ c*f= |
| =a0 |
| | 64g2 | |
Równanie:
(v
3−2a
3v
2+4a
2v−8a
1)(8a
2g−4a
3vg+2v
2g−v
3+2a
3v
2−4a
2v+8a
1)=64g
2a
0
a
3=x
a
2=y
a
1=z
a
0=t
→ x,y,z,t są dane oraz g=2b−a
3=(2b−x)
(v
3−2xv
2+4yv−8z)(8yg−4xvg+2v
2g−v
3+2xv
2−4yv+8z)=64g
2t
(v
3−2xv
2+4yv−8z)(8y(2b−x)−4xv(2b−x)+2v
2(2b−x)−v
3+2xv
2−4yv+8z)=64(2b−x)
2t
(v
3−2xv
2+4yv−8z)(4bv
2−8xbv+4x
2v+16by−v
3−4vy−8xy+8z)=64(2b−x)
2t
(−64*z
2)+((64*x+64*v−128*b)*y−32*v*x
2+(64*b*v−16*v
2)*x+16*v
3−32*b*v
2)*z
+((−32*v*x)−16*v
2+64*b*v)*y
2+(32*v
2*x
2−64*b*v
2*x−8*v
4+32*b*v
3)*y−8*v^
3*x
3+(4*v
4+16*b*v
3)*x
2+(2*v
5−16*b*v
4)*x−v
6+4*b*v
5=64(2b−x)
2t
4bv
5−16bv
4x+16bv
3x
2+32bv
3y−64bv
2xy+32bv
2z+64bvxz+64bvy
2−128byz−v
6+2
v
5x+4v
4x
2−8v
4y−8v
3x
3+16v
3z+32v
2x
2y−16v
2xz−16v
2y
2−32vx
2z−32vxy
2
+64vyz+64xyz−64z
2=64(2b−x)
2t
4bv
5−16bv
4x+16bv
3x
2+32bv
3y−64bv
2xy+32bv
2z+64bvxz+64bvy
2−128byz−v
6+2
v
5x+4v
4x
2−8v
4y−8v
3x
3+16v
3z+32v
2x
2y−16v
2xz−16v
2y
2−32vx
2z−32vxy
2
+64vyz+64xyz−64z
2=64(v−x)
2t
(4b)v
5−(16bx)v
4+(16bx
2)v
3+(32by)v
3−(64bxy)v
2+(32bz)v
2+(64bxz)v+(64by^
2)v−(128byz)−(v
6)+(2x)v
5+(4x
2)v
4−(8y)v
4−(8x
3)v
3+(16z)v
3+(32x
2y)v
2−
(16xz)v
2−(16y
2)v
2−(32x
2z)v−(32xy
2)v+(64yz)v+64xyz−64z
2=64t(v
2−2vx+x
2)
2v
6−(8x)v
5+(8x
2)v
4+(16y)v
4−(32xy)v
3+(16z)v
3+(32xz)v
2+(32y
2)v
2−(64y
z)v−v
6+(2x)v
5+(4x
2)v
4−(8y)v
4−(8x
3)v
3+(16z)v
3+(32x
2y)v
2−(16xz)v
2−(
16y
2)v
2−(32x
2z)v−(32xy
2)v+(64yz)v+64xyz−64z
2=(64t)v
2−(128tx)v+64tx
2
v
6−6xv
5+(12x
2+8y)v
4+(32z−32xy−8x
3)v
3+(16xz+16y
2+32x
2y−64t)v
2−(64yz+
32xy
2+32x
2z−128tx−64yz)v+64xyz−64z
2−64tx
2=0
Tak jak mówiłeś, współczynnik przy piątej potędze ma się wyzerować, zatem:
−6x=0 → x=0
v
6+8yv
4+(32z)v
3+(16y
2−64t)v
2−64z
2=0
Podsumowując − nie wyszło mi to kompletnie..
Chyba się poddaje, bo próbowałem sam robić w zeszycie i wyszło mi równanie 6−go stopnia, teraz
tutaj i znów coś nie wyszło, także wychodzi na to że tyle liczenia na nic
9 paź 00:01
Mariusz:
Sposób jest dobry sprawdzałem na równaniu ogólnym ze współczynnikami literowymi
| | a3 | |
Jeżeli chcemy zastosować podstawienie b=y+h , to h = |
| |
| | 2 | |
ale tak jak pisałem wcześniej h dobierasz tak
aby wyzerować współczynnik w wyrazie z piątą potęgą wtedy powinny się wyzerować
także pozostałe wyrazy o nieparzystych potęgach
Po przyjęciu za 2b−a
3 jakiejś nowej zmiennej np g
i uzależnieniu od niej wyrażeń na c oraz f z równania cf−a
0=0
powinieneś dostać równanie szóstego stopnia ale niezerowe współczynniki będą występować
tylko w wyrazach o parzystych potęgach
g = 2b−a
3 , to jest dobre podstawienie i powinno wyzerować wszystkie wyrazy
o nieparzystych potęgach
Jakiś czas temu rozpisałem to na forum na którym mają texa
poniżej masz odnośnik
https://matematyka.pl/viewtopic.php?f=27&t=439711&p=5611716#p5611716
Jak widać nie chciało mi się tego wymnażać do końca
Rozpisałem to aby pokazać pewnemu kolesiowi że ten sposób
wymaga więcej obliczeń niż ten który ja wolę
Jeśli chcesz wiedzieć jaki sposób ja preferuję
to przejrzyj następujący plik pdf
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf
Paragraf 8. Sposób Ferrariego rozwiązywania równań czwartego stopnia
choć sugerowałbym przeczytać też paragraf o równaniu trzeciego stopnia
9 paź 01:48