udowodnij Emilia: Udowodnij, że dla każdej liczby dodatniej a i każdej liczby dodatniej b prawdziwa jest nierówność:

1		1		2
	+		≥
2a		2b		a+b

janek191: a > 0 i b > 0

1

1

1

1

1

1

a + b

a + b

+

=

*(

+

) =

*

=

2a

2b

2

a

b

2

a*b

2 a*b

więc

a + b		2		( a + b)2 − 4 a*b
	−		=		=
2 a*b		a + b		2 a*b*( a + b)

	a2 + 2 a b + b2 − 4 a b		(a − b)2
=		=		≥ 0
	2ab*( a + b)		2a b*(a + b)

ckd.

janek191: Mianownik dodatni , a licznik ≥ 0 , więc ułamek jest ≥ 0.

I'm back: Albo powołujemy się na nierówność Cauchy'ego między średnimi.