Wyznacz parametr równania kwadratowego Matmolud13: Dla jakich wartości parametru m równanie: t²−t+1−m=0 ,ma 2 różne rozwiązania, z czego t1∈(−ထ,−1> ∪ (1,ထ), a t2∈ (−1,1) (domyślam się, że należy tutaj skorzystać ze wzorów viete'a, aczkolwiek nie wiem dokładnie jak)

sushi: jakie proponujesz założenia ?

Matmolud13: oczywiście delta większa od zera, a jeżeli chodzi o kolejne założenia... to chyba bez rozbicia ich na przypadki nie będzie dało się tego zrobić.. (ponieważ nie da się tutaj w żaden sposób stwierdzić znaku iloczynu lub sumy pierwiastków)

sushi: jakby się dobrze przyjrzeć to masz prawie |t₁| ≥1 |t₂| <1 a=1, b= −1 , c= 1−m

sushi: i można zrobić 4 przypadki, oba ujemne, oba dodatnie, oba różnych znaków ale i tak trzeba zobaczyć co wyjdzie z rozpisania |t₁| i |t₂|

wredulus_pospolitus: na pewno t₁∈(−ထ,−1> ∪ (1,ထ)

wredulus_pospolitus: jeżeli faktycznie taki jest przedział to mamy taki warunek: f(−1) * f(1) ≤ 0 ∧ f(1) ≠ 0

wredulus_pospolitus: chociaż nie −−− ten warunek da troszeczkę za dużo możliwości f(−1) * f(1) < 0 ∨ ( f(−1) = 0 ∧ f(1) > 0 ∧ f'(−1) < 0 ) (jeżeli mieliśmy pochodne) no i oczywiście: f(t) = t² − t + 1 − m

wredulus_pospolitus: wersja bez pochodnej: f(−1) * f(1) < 0 ∨ ( f(−1) = 0 ∧ f(1) > 0 ∧ x_wierzchołka > −1 )

wakacje :

	1−√4m−3
A nie dałoby rady w ten sposób że Δ=4m−3, z tego t1=		oraz
	2

	1+√4m−3
t2=
	2

I teraz rozwiązać nierówności: (t₁≤−1 v t>1) ∧ (t₂>−1 ∧ t₂<1)? przy założeniu że Δ>0

wakacje :

	3
Chociaż przy takim ułożeniu prawidziwa jest nierówność t2>t1 dla m>		(Δ>0)
	4

Stad wynika że musi być że t₁∊(−∞;−1> i t₂∊(−1;1), bo inaczej jeśli dopuścimy ten drugi przedział dla t₁ to wtedy t₁>t₂ Jak myślisz wredulus?

wredulus_pospolitus: po pierwsze t₁ i t₂ mają 'umowne' wzory więc masz do sprawdzenia:

1−√4m−3		1 + √4m−3
	≤ −1 <		< 1
2		2

∨

	1−√4m−3		1 + √4m−3
−1 <		< 1 <
	2		2

oczywiście, że tam można ... tylko masz dużo 'pitolenia' się z tymi nierównościami ... chcesz ... rób w taki sposób

wredulus_pospolitus: można też przez spojrzeniem na te nierówności zauważyć, że:

	−b		1
xwierzchołka =		=		związku z tym jedyna sytuacja w której będą spełnione
	2a		2

warunki zadania będą jeżeli:

	1 − √4m−3		1 + √4m+3
−1 <		< 0 bo wtedy zachodzi także 1 <
	2		2

w efekcie mamy łatwiejsze nierówności do rozwiązania niż początkowo (21:05)

kerajs: 1) f(−1)=0 ⇒ m=3 ⇒ (t+1)(t−2)=0 pierwiastki nie spełniają założeń 2) f(−1) * f(1) < 0 (3−m)(1−m)<0 m∊(1;3)

PW: Pozwolę sobie skomentować genialne rozwiązanie kerajsa, które jednak przy tak skąpym uzasadnieniu doczekałoby się niechybnie komentarzy uczniów w stylu: − A skąd ja niby miałbym być taki mądry? Chyba trzeba zacząć od stwierdzenia, że równanie ma równoważną postać

	1		3		3
(t −		)2 = m −		, m>
	2		4		4

	1
a więc rozwiązania − o ile istnieją − są symetryczne względem liczby		. Dalsza część
	2

rozwiązania, poparta odpowiednimi wykresami parabol − byłaby już zrozumiała.

Iryt:

kerajs: @PW To rozwiązanie zaproponował wcześniej wredulus. Ja jedynie chciałem pokazać jak się pozbyć problematycznego domknięcia w −1. Postać równoważna, którą wskazujesz, nie jest (moim zdaniem) potrzebna, a położenie na płaszczyźnie XOY parabol y=ax²+bx+c to chyba standard, nawet na poziomie podstawowym.

PW: Skoro mamy pomagać uczniom, którzy nie widzą sposobu rozwiązania, i najczęściej miotają się − a to Delta Nasza Kochana, a to wzory Viéte'a − trzeba wczuć się w ich kłopoty. Samo rzucenie myśli w stylu "no to mamy warunki" nic nie daje, jak nie rozumiał, tak nie rozumie, warunek f(−1)f(1) < 0 jest "wzięty z powietrza". Mnie bardziej interesuje sposób dojścia do tych warunków. Zauważ, że mój wpis był pochwałą, a nie krytyką chciałem tylko podpowiedzieć uzasadnienie, bo żaden z Was nie napisał, że trzeba rysować parabole..