Dowód, nierówność Szkolniak: Pokaż, że dla x, y, z dodatnich zachodzi nierówność

x2

y2

z2

y

z

x

+

+

≥

+

+

y2

z2

x2

x

y

z

	x		y		z
Podstawienie: a=		, b=		, c=		(a,b,c>0)
	y		z		x

	1		1		1
a2+b2+c2≥		+		+
	a		b		c

	ab+bc+ac
a2+b2+c2≥
	abc

abc(a²+b²+c²)≥ab+bc+ac Moje wnioskowanie: abc(a²+b²+c²)≥a²+b²+c²≥ab+bc+ac, cnw. Czy jest ok taki wniosek?

mat: skąd obie nierówności? Pierwsza zachodzi gdy abc≥1 prawda?

Szkolniak: Hmm, skoro a,b oraz c są dodatnie, to czy nie jest oczywistym taka nierówność że abc(a²+b²+c²)≥a²+b²+c²?

Szkolniak: Racja, dla abc∊(0;1) nierówność nie jest spełniona.. Coś za szybko mi to poszło i już widzę że błędne wnioskowanie

kerajs:

1		x2		z2		x2		z2		z
	(		+		)≥√(		*		)=
2		y2		x2		y2		x2		y

ICSP: Poza standardowym dla Ciebie złym postrzeganiem dowodu masz:

	(a−b)2 + (a−c)2 + (b−c)2
abc(a2 + b2 + c2) = a2 + b2 + c2 =		+ ab + bc + ac ≥
	2

≥ ab + bc + ac

Szkolniak: No dosyć ciężko idą mi te dowody nierówności, przykładowo takie jak to zadanie. Nie wiem z której strony się zabrać, jedyne co mi zostaje to przenoszenie na lewa stronę i jakieś grupowanie. Skąd nagle równość abc(a²+b²+c²)=a²+b²+c²?

ICSP: Załóż, że taka równość zachodzi (nie wierz mi na słowo) Wtedy jaką wartość powinno przyjmować wyrażenie abc? Sam wprowadziłeś podstawienie a = ... , b = ... , c = ... Wróć do niego i wyznacz wartość iloczynu abc. Wprowadzając takie podstawienie podświadomie narzuciłeś pewien warunek na liczby a,b,c (a konkretniej na ich iloczyn).

kerajs:

x2		y2		z2		1		x2		y2
	+		+		=		(		+		) +
y2		z2		x2		2		y2		z2

1

z2

x2

1

y2

z2

+

(

+

) +

(

+

)≥

2

x2

y2

2

z2

x2

	x2		y2		z2	x2		y2		z2
≥√(				)+√(			)+√(				)=
	y2		z2		x2	y2		z2		x2

=...