Implikacja, czworokąty Ula: Oceń czy ta implikacja jest prawdziwa: ,,Jeśli czworokąt ma dwie przekątne równej długości, to ten czworokąt jest trapezem równoramiennym." Uważam, że ta implikacja jest prawdziwa. Tylko teraz zastanawiam się czy prostokąt i kwadrat są trapezami równoramiennymi? Mają co najmniej jedną parę boków równoległych, co najmniej dwa boki równej długości oraz równe kąty przy podstawie (wszystkie cechy, które musi spełniać trapez równoramienny), więc wydaje mi się że tak. Z góry bardzo dziękuję

mat: tak

Ula: Chyba jednak obali tą implikację deltoid.

mat: a no masz racje!

Ula: A może da się znaleźć jeszcze jakiś inny przykład 🤔

mat:

Ula: Pewnie jeszcze dowolny czworokąt, który nie jest trapezem

Ula: Czyli: 1) jedynymi przykładami, które obalą tę implikację mogą być: czworokąt, który nie jest trapezem oraz deltoid? 2) kwadrat i prostokąt są trapezami równoramiennymi 3) równoległobok nie jest trapezem równoramiennym Z góry bardzo dziękuję czy każdy punkt napisałam poprawnie

mat: równoległobok jak najbardziej jest trapezem równoramiennym

mat: 1) deltoid tez jest czworokątem niebędącym trapezem (w ogólności)

ite: Żeby ta implikacja była zawsze prawdziwa, potrzebny jest jeszcze jeden warunek: punkt przecięcia musi dzielić te równe przekątne w takich samych proporcjach (np. na obu 1:5). Czworokąty niespełniające tego warunku a mające równe przekątne, możesz podawać jako dowód fałszywości tej implikacji (dają prawdziwy poprzednik i fałszywy następnik).

ite: Czy to jest znowu z tego podręcznika do 8 klasy? Jeśli nie, to jakiego poziomu nauczania jest to zadanie? Pytam, bo odpowiedzi z 15:39 nie są prawidłowe, ale nie mam pojęcia, jakie własności implikacji poznaje uczeń podstawówki.

Ula: to zadanie z pierwszej klasy szkoły średniej z poziomu podstawowego

ite: OK, szkoła średnia. Mamy podane twierdzenie w formie implikacji: Jeśli czworokąt ma dwie przekątne równej długości (założenie), to ten czworokąt jest trapezem równoramiennym (teza). Teraz można udowodnić to twierdzenie (i mieć pewność, że jest prawdziwe) lub podać kontrprzykład czyli przykład czworokąta, dla którego implikacja będzie fałszywa (i mieć pewność, że twierdzenie nie jest prawdziwe). Jak podać właściwy kontrprzykład? Implikacja będzie fałszywa tylko wtedy gdy poprzednik (tutaj to założenie) jest prawdziwy a następnik fałszywy (teza). Czyli trzeba znaleźć taki czworokąt, który ma równe przekątne ale nie jest trapezem równoramiennym. Wracamy do 15:39 3) równoległobok nie jest trapezem równoramiennym ← to nie jest właściwy kontrprzykład każdy równoległobok spełnia tezę ( jest trapezem równoramiennym), nie każdy spełnia założenie (nie każdy równoległobok ma przekątne równej długości), 2) kwadrat i prostokąt są trapezami równoramiennymi ← to również nie jest właściwy kontrprzykład oba spełniają warunki zarówno podane w tezie jak i w założeniu 1) jedynymi przykładami, które obalą tę implikację mogą być: czworokąt, który nie jest trapezem oraz deltoid czworokąt, który nie jest trapezem, może nie mieć równych przekątnych ← nie ma gwarancji że spełnia założenie, za mało warunków. Ale jednym z takich czworokątów jest deltoid. Trzeba wybrać taki, który ma równe przekątne i nie ma wszystkich boków równych. Mamy spełnione założenie i nie spełnioną tezę, czyli podana implikacja jest fałszywa.

Eta: kontrprzykład Zatem : taka implikacja jest fałszywa