Wzór rekurencyjny ciągu Hugen: Wzór rekurencyjny ciągu ma postać: 𝑎1=−3 𝑎𝑛+1=2𝑎𝑛+1 dla 𝑛≥1 Udowodnić, że postać zwartą tego ciągu można określić wzorem: 𝑎𝑛=−2𝑛−1 dla 𝑛≥1. Moge poprosić o rozpisanie krok po korku

Mila: Po 20 −tej, jeśli nikt nie napisze rozwiązania.

kerajs: To oczywista nieprawda. Skoro a_n+1=2a_n+1 oraz a₁=−3 to: a₂=−6+1=−5 a₃=−10+1=−9 Jednak jeśli a_n=−2n−1 to: a₁=−3 a₂=−5 a₃=−7 i już dla wyrazu trzeciego te ciągi się rozmijają. PS Moim zdaniem, wzór jawny dla a_n+1=2a_n+1 to a_n=2ⁿ⁻¹(a₁+1)−1

Mila: Właśnie miałam pisać , czy tak wygląda treść zadania.

kerajs: To zasadne pytanie.

Mila: a_n=−2ⁿ−1

Mariusz: Jak widać Hugen nie używa indeksów i może ten wzór ogólny miał wyglądać tak a_n = −2ⁿ − 1 Proponowałbym wykazać indukcyjnie

Mila: Teoria. https://www-users.mat.uni.torun.pl//~much/RR/REKUR_2_liniowe_13xi2006.pdf

Mariusz: Sprawdzasz czy wzór jest poprawny dla n = 1 a₁ = −2 − 1 = −3 Zakładasz że jest poprawny dla pewnego n = k > 1 a_k=−2^k−1 Sprawdzasz czy wzór jest spełniony dla n = k + 1 a_k+1=−2^k+1−1 a_k+1=2a_k+1 −2^k+1−1=2(−2^k−1)+1 −2^k+1−1=−2*2^k−2+1 −2^k+1−1=2^k+1−1 L=P

Mila: Ja zrobiłabym tak: a_n+1=2*a_n+1 a_n+2=2*a_n+1+1 ========= odejmuję stronami a_n+2−a_n+1=2a_n+1−2a_n=0 mamy równanie jednorodne a_n+2−3a_n+1}+2a_n=0 x²−3x+2=0 x=1 lub x=2 a_n=A*1ⁿ+B*2ⁿ a₁=−3=A+2B a₂=−5=A+4B A=−1, B=−1 a_n=−1−2ⁿ

Mariusz: mat.uni.torun.pl Właśnie tam studiowałem zaocznie informatykę Na wydziale matematyki i informatyki A tego pdf to chyba nawet ściągnąłem

Mariusz: Mila podała jeden ze sposobów rozwiązywania równań rekurencyjnych Ja tam wolę funkcje tworzące bo więcej równań da się nimi rozwiązać Szczególnie przydatne są dwie Zwykła funkcja tworząca dająca dla ciągu jedynek szereg geometryczny Wykładnicza funkcja tworząca dająca dla ciągu jedynek eksponentę Gdybyśmy chcieli rozwiązywać to równanie funkcją tworzącą to tutaj wystarczy ta zwykła Tutaj mieliśmy polecenie wykaż więc indukcja tutaj dobrze pasuje i wykorzystuje rekurencyjną definicję liczb naturalnych Liczba 1 jest liczbą naturalną Każda liczba naturalna posiada następnik Jeśli chodzi o wyprowadzenie wzoru jawnego z użyciem funkcji tworzącej to Zdefiniujmy sobie funkcję której kolejne współczynniki rozwinięcia w szereg potęgowy będą równe kolejnym wyrazom ciągu zdefiniowanego rekurencyjnie Ponieważ pierwszym wyrazem jest a₁ więc indeksujemy wyrazy szeregu od jedynki A(x) = ∑_n=1^∞a_nxⁿ Rekurencja zachodzi dla n≥1 ∑_n=1^∞a_n+1xⁿ=∑_n=1^∞2a_nxⁿ+∑_n=1^∞xⁿ

1		x
	(∑n=1∞an+1xn+1)=2(∑n=1∞anxn)+
x		1−x

1		x
	(∑n=1∞anxn+3x)=2(∑n=1∞anxn)+
x		1−x

	x2
∑n=1∞anxn+3x=2x(∑n=1∞anxn)+
	1−x

	x2
A(x)−2xA(x)=		−3x
	1−x

	x2−3x(1−x)
A(x)(1−2x)=
	1−x

	4x2−3x
A(x)(1−2x)=
	1−x

	4x2−3x
A(x)=
	(1−2x)(1−x)

4x2−3x		Ax		2Bx
	=		+
(1−2x)(1−x)		1−x		1−2x

Ax(1−2x)+2Bx(1−x)=4x²−3x A(1−2x)+2B(1−x)=4x−3 A+2B=−3 −2A−2B=4 −A = 1 A = −1 −1+2B = −3 2B = −3+1 2B = −2 B=−1

	x		2x
A(x)=−		−
	1−x		1−2x

A(x)=−(∑_n=1^∞xⁿ)−(∑_n=1^∞2ⁿxⁿ) A(x)=∑_n=1^∞(−1−2ⁿ)xⁿ a_n=(−1−2ⁿ)xⁿ

kerajs: Klasyka. Tyle liczenia, a błąd w ostatniej linijce.

Mariusz: Widać że literówka a spróbuj rozwiązać równanie na liczby Catalana czy liczby Bella równaniem charakterystycznym cwaniaczku

moderator: I kto tu daje bezsensowne komentarze? Mariusz, uznanie za czas i chęci, aby pisać tak szczegółowe rozwiązania.

Mariusz: Moderator dziękuje Dla mnie nie dość że metoda funkcji tworzących jest wygodniejsza w użyciu to i więcej równań da się nimi rozwiązać np w przypadku równania na liczby Catalana po zastosowaniu zwykłej funkcji tworzącej oraz twierdzenia o funkcji tworzącej splotu dostajemy równanie kwadratowe na funkcję tworzącą , rozwiązujemy równanie kwadratowe na funkcję tworzącą, jedno rozwiązanie musimy odrzucić Współczynniki rozwinięcia funkcji tworzącej w szereg możemy uzyskać z uogólnionego dwumianu Newtona Wynik można jeszcze uprościć rozszerzając licznik i mianownik W przypadku liczb Bella wygodniejsza w użyciu byłaby wykładnicza funkcja tworząca Możliwe byłoby rozwiązanie tych równań równaniem charakterystycznym ? Jeżeli mamy rekurencję liniową o stałych współczynnikach to funkcja tworząca będzie funkcją wymierną i będzie można przedstawić ją w postaci sumy szeregów geometrycznych i ich pochodnych W pdf w którym podała Mila jest dość ciekawa metoda pokazująca że liniowe równania rekurencyjne można rozwiązywać analogicznie jak równania różniczkowe Jeżeli mamy równanie liniowe o stałych współczynnikach to aby rozwiązać równanie jednorodne przekształcamy równanie w układ równań a następnie metodami algebraicznymi liczymy potęgę macierzy (tutaj przydatny będzie jakiś rozkład macierzy np diagonalizacja lub rozkład Jordana) Rozwiązanie szczególne znajdujemy uzmienniając stałe −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Tutaj było polecenie wykaż więc wystarczyła indukcja bez potrzeby rozwiązywania tego równania

kerajs: Oj, nie zaperzaj się Mariusz, lecz popraw na poprawną postać. Gros czytających nie rozumie co tam liczysz, więc bezrefleksyjnie przepiszą także błędny wynik. Po za tym, wcale Cię nie atakowałem, a jedynie wskazałem na ułomność naszego umysłu który po przebrnięciu największych trudności rozkojarza się i robi błąd w łatwej końcówce. I dotyczy to nie tylko zadań matematycznych. ''Mariusz: spróbuj rozwiązać równanie na liczby Catalana czy liczby Bella równaniem charakterystycznym cwaniaczku'' A po co mam wyprowadzać wzory na te liczby? Wystarczy, że ja, cwaniak je znam. I jakoś nie przypominam sobie abyś Ty je stosował. Może wskażesz jakieś posty w których użyłeś liczb Bella i Catalana? Chętnie je zobaczę.

kerajs: ''moderator: I kto tu daje bezsensowne komentarze?'' Jak nie rozumiesz co czytasz, to może wpierw spytaj się kogoś kto rozumie, zamiast się tu błaźnić.

chichi: @Mariusz nie rozumiem dlaczego zawsze tak agresywnie reagujesz na krytykę, w tym przypadku nawet nie na krytykę, a jedynie poprawkę odnośnie Twojego rozwiązania. Wszyscy jesteśmy ludźmi mamy prawo się pomylić i nawet jest to naturalne, ale w czym problem przyznać rację.. Wiele osób na tym forum próbuje robić wrażenie 'idealnego' ale po co to nie wiem

Mariusz: Na samym początku masz funkcję tworzącą zdefiniowaną następująco A(x)=∑_n=1^∞a_nxⁿ więc skoro A(x)=∑_n=1^∞(−1−2ⁿ)xⁿ to a_n = −1−2ⁿ Co do poprzedniego wpisu to widać że za dużo skopiowałem z poprzedniej linijki Jeśli chodzi o liczby Bella czy Catalana to taki znany przykład gdzie funkcje tworzące zadziałają a wasza ulubiona metoda już nie tylko nie chcecie się do tego przyznać

Maciess: To ja jeszcze dorzucę do autora tego pdfa. http://www.math.uni.wroc.pl/~elsner/dydaktyka/alglin1-skrypt.pdf Na stronie 118, przykład 2, jest zrobiony przykład bez metody przewidywania, przy użyciu diagonalizacji macierzy.

kerajs: 1. ''Mariusz: Co do poprzedniego wpisu to widać że za dużo skopiowałem z poprzedniej linijki'' Ty to widzisz, ja to widzę, ale już user chowający się za nickiem ''moderator'' tego (jak widać) nie widzi. 2.''Mariusz: Jeśli chodzi o liczby Bella czy Catalana to taki znany przykład gdzie funkcje tworzące zadziałają a wasza ulubiona metoda już nie tylko nie chcecie się do tego przyznać'' No to wskaż, proszę, post w którym napisałem, że wzór jawny na liczby Bella lub Catalana można uzyskać z metody przewidywania. 3. Po za tym, to metody przewidywania nikt tu nie użył. Mila kosztem zwiększenia stopnia równania pozbyła się niejednorodności, a ja, skoro miałem wypisane kilka wyrazów, odgadłem wzór ogólny.