Liczby czterocyfrowe Szkolniak: Znajdź wszystkie liczby czterocyfrowe, które są kwadratem liczby naturalnej i które mają takie same dwie pierwsze cyfry oraz takie same dwie ostatnie. W takim razie oznaczam szukaną liczbę jako: z=1000a+100a+10b+b, gdzie a∊Z={1,2,3,...,9} oraz b∊Z∪{0} Tworzę równanie: z=n², gdzie n∊N₊ 1100a+11b=n² 11(100a+b)=n² I teraz moje pytanie brzmi czy jeżeli rozpatrujemy dane równanie w liczbach naturalnych, to czy nie wynika z tego, że n=11 oraz 100a+b=11? Chociaż jeśli tak by było to wtedy powstaje nierówność a<0,11, co razem ze zbiorem daje brak takich liczb

Szkolniak: Po głębszym namyśle to z racji iż 11 jest liczbą pierwszą, wydaje mi się że moje wnioskowanie jest odpowiednie i po prostu nie ma takich liczb czterocyfrowych, które spełniałyby podane warunki Dobrze myślę?

mat: zobacz ze moze byc np 11*(11*121) = n² czyli 100a+b = 11*121

mat: ale w sumie tak sie nie zdarzy bo 100a+b≤100*9 + 9 < 11*121

mat: teoretycznie mogły być tez takie opcje: 11*(4*11) = n² czyli 100a+b = 9*11 nie uda sie 11*(9*11) nie uda sie 11*(16*11) czyli 100a+b = 16*11 = 176 nie uda sie 11*(25*11) czyli 100a+b = 275 nie uda sie 11*(36*11) nie 11*(49*11) nie ale juz 11*(64*11) tak bo 100a+b = 64*11 = 704, wystarczy wziąc a =7, b=4 czyli liczba 7744

mat: 81*11 nie 100*11 tez nie czyli tylko tamta jedna

Szkolniak: Rzeczywiście, czyli rozumiem że do tej 11−stki w nawiasie dobierasz kolejne kwadraty liczb naturalnych, a ta 11−stka w nawiasie jest stała dlatego, żeby z tą 11−stką przed nawiasem tworzyła kwadrat liczby naturalnej?

mat: tak "

Szkolniak: Dobra już wszystko jasne, a mam jeszcze taki przykład: Kiedy dana liczba dwucyfrowa jest dodana do liczby dwucyfrowej mającej cyfry ustawione w odwrotnym porządku, to suma jest kwadratem liczby naturalnej. Powstaje równanie 11(a+b)=k² Badamy maksymalną sumę a+b, która wynosi 18 i kwadraty to 1, 2, 4, itd. aż do 16, ale wszystko odpada oprócz 11, bo wtedy ta jedenastka zostaje sama, co od razu nasuwa na myśl że musi być że a+b=11, dobrze myślę? I szukane liczby wychodzą ok, są to 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92

mat: tak