Grześ: Wiedzac ze AC=x+y+z, DB=z, CD=x, CB=y oraz ∡DCB=40, ∡BDC=80 i ∡CBD=60 wyznacz ∡BAC.

Mariusz: ∡BDC = 80 ∡CDA = 100

x+y+z		x
	=
sin(100)		sin(∡DAC)

sin(∡DAC)		sin(100)
	=
x		x+y+z

	x sin(80)
sin(∡DAC)=
	x+y+z

	x sin(80)
∡BAC=∡DAC = arcsin(		)
	x+y+z

Mariusz: Trzeba obliczyć konkretne wartości dla x , y , z ? Jeśli tak to zadanie nie jest jeszcze skończone

chichi: |∡BAC| = 20^o

chichi: Mimo iż rysunek nie oddaje, spróbuję znaleźć drugie rozwiązanie, żeby potwierdzić ten wynik, no chyba, że ktoś jeszcze otrzymał taki wynik @Mila @Eta @wredulus₋pospolitus macie jakieś propozycje?

Mila: ?

Mariusz: Z twierdzenia sinusów w DBC

z		x
	=
sin(40)		sin(60)

	x sin(40)
z =
	√3   2

	2x sin(40)
z =
	√3

	2√3x sin(40)
z =
	3

x		y
	=
sin(60)		sin(80)

	x sin(80)
y=
	√3   2

	2x sin(80)
y =
	√3

	2√3x sin(80)
y =
	3

	2√3		2√3
x+y+z=x(1+		sin(80)+		sin(40))
	3		3

3(x+y+z)=x(3+2√3 sin(80) + 2√3 sin(40))

3x		3
	=
3(x+y+z)		3+2√3 sin(80) + 2√3 sin(40)

	3sin(80)
∡BAC = arcsin(		)
	3+2√3 sin(80) + 2√3 sin(40)

Mnie tyle wyszło po zabawie z trygonometrią Da się to uprościć do 20° ?

chichi: Mam 2 rozwiązanie, które potwierdza, że |∡BCA| = 20^o, ale jestem na imprezie i piszę z telefonu, jutro wstawie rozwiązania, bo na telefonie słabo się rysuje

chichi: |∡BAC| = 20^o **

Mariusz: chichi no ok ,widać że to literówka tym bardziej że w poprzednim wpisie poprawnie napisałeś jaki kąt obliczyłeś Gdy wstawiłem swój wynik który otrzymałem z trygonometrii do kalkulatora to też otrzymałem 20° tyle że aby to pokazać trzeba się trochę pobawić i uprościć ułamek

3sin(80°)
3+2√3sin(80°)+2√3sin(40°)

Mariusz:

3sin(80°)
3+2√3sin(80°)+2√3sin(40°)

	3
=2sin(80°)cos(80°)
	6cos(80°)+2√3 2sin(80°)cos(80°)+4√3sin(40°)cos(80°)

	3
=sin(160°)
	6cos(80°)+2√3sin(160°)+2√3 2sin(40°)cos(80°)

	3
=sin(20°)
	6cos(80°)+2√3sin(20°)+4√3 sin(40°)cos(80°)

	3
=sin(20°)
	√3   6cos(80°)+2√3sin(20°)+2√3( − sin(40°))   2

	3
=sin(20°)
	√3   6cos(80°)+2√3sin(20°)+2√3( − sin(40°))   2

	3
=sin(20°)
	3+6cos(80°)+2√3sin(20°)−2√3sin(40°)

	3
=sin(20°)
	1   √3   3+6(− cos(40°)+ sin(40°))+2√3sin(20°)−2√3sin(40°)   2   2

	3
=sin(20°)
	3−3cos(40°)+√3sin(40°)+2√3sin(20°)

	3
=sin(20°)
	1   √3   3+2√3(sin(40°) −cos(40°) )+2√3sin(20°)   2   2

	3
=sin(20°)
	3+2√3sin(40°− 60°)+2√3sin(20°)

	3
=sin(20°)
	3+2√3sin(−20°)+2√3sin(20°)

	3
=sin(20°)
	3−2√3sin(20°)+2√3sin(20°)

	3
=sin(20°)
	3

=sin(20°) Czyli udało się uprościć wynik uzyskany sposobem trygonometrycznym

chichi: @Mariusz dużo jeszcze nie wypiłem, ale jak to czytam to aż kręci mi się głowie

Mariusz: chichi coś nie lubisz trygonometrii co W rozwiązaniu trygonometrycznym wykorzystałem to że jeden z kątów w trójkącie CAD jest przyległy do kąta w trójkącie BDC o danej mierze i następnie z twierdzenia sinusów (raz w trójkącie CAD aby uzależnić wartość sinusa kąta ∡DAC od długości boków x,y,z i dwa razy w BDC aby uzależnić długości boków y oraz z od x) Po wstawieniu x oraz y i z uzależnionych od x do

	x sin(80)°
sin(∡DAC) =
	x+y+z

x się skrócił a dalej to tylko upraszczanie uzyskanego ułamka z czym też trochę zabawy było

chichi: @Mariusz jak już wspominałem jestem zwolennikiem geometrii syntetycznej co zresztą widać po moich rozwiązaniach. Ty wszędzie jeden schemat, wciskasz trygonometrie bez opamiętania i szczerze to zero w tym geometrii, tylko żmudne dłubanie w równaniu, czyli algebra nie geometria. Wpaść na takie rozwiązania jakie prezentuje nie jest łatwo, ale I'm problem trudniejszy tym lepszy. Czyż nie to właśnie jest pięknem matematyki? P. S. Jutro wstawię oba rozwiązania i odpowiem na Twoje pytanie w poprzednim wątku, dobranoc

kerajs: ''chichi: Ty wszędzie jeden schemat, wciskasz trygonometrie bez opamiętania i szczerze to zero w tym geometrii, tylko żmudne dłubanie w równaniu, czyli algebra nie geometria.'' To wynik narzędzi w jakie wyposaża uczniów system szkolnictwa. Szkoła skupia się na analitycznych rozwiązaniach, stąd trygonometria czy tw. sinusów i kosinusów. Sztuka geometrii jest uprawiana przez samouków, i to tych którym ktoś podsunie odpowiednie książki. PS Podobnie jest ze sztuką rozwiązywania nierówności.

chichi: @kerajs fakt, jestem samoukiem

Mariusz: Tutaj kerajs ma trochę racji Czy trygonometria jest algebrą ? Jaką masz definicję funkcyj trygonometrycznych ? Jak wyprowadzasz wzory na sumę / różnicę funkcyj trygonometrycznych czy na funkcje trygonometryczne sumy i różnicy W jaki sposób udowadniasz tw sinusów i cosinusów Gdybyśmy chcieli to zadanie Grzesia rozwiązywać szkolnymi sposobami to twierdzenie sinusów tutaj można zastosować W poprzednim zadaniu Grzesia zastosowanie miało tw cosinusów choć twój pomysł z trójkątami przystającymi też był ok jeśli chodzi o szkolne narzędzia jak to kerajs ujął "Wpaść na takie rozwiązania jakie prezentuje nie jest łatwo" No właśnie w tym problem a ludzie którzy wrzucają tu zadania nie zawsze będą w stanie z samego rysunku odczytać sposobu rozwiązania Jednak twoje rozwiązania gdy są zaprezentowane w zrozumiały sposób mogą się podobać

Mariusz: Kerajs miałeś jeszcze w szkole geometrię sferyczną ? W geometrii sferycznej są odpowiedniki twierdzenia sinusów i cosinusów ale suma miar kątów w trójkącie nie zawsze jest równa 180° Geometria sferyczna może być przydatna np do pomiarów Ziemi i powinni ją zostawić w programie nauczania

chichi: @Mariusz 'żmudne dłubanie w równaniu, czyli algebra' czyli te przekształcenia równania etc. nie tryg.

kerajs: Nie, nie miałem. Przypuszczam że nikt (może prócz szkół średnich o profilu morskim, lotniczym albo geodezyjnym ?) geometrii nieeukidesowych nie miał w programie. PS Ziemię trochę trudno mierzyć, więc mało przydatna to umiejętność, moim zdaniem. @chichi Może zdradzisz od jakich książek zacząłeś samonaukę geometrii ?

chichi: @kerajs od jakiego mniej więcej poziomu Ci chodzi?

kerajs: Od poziomu 0 (przyjmując iż wiedza szkolna to −1).

chichi: Na pewno polecałbym podręczniki takich Panów jak: −Coexter −Birkhoff −Moise −Euklides

chichi: ΔBCE ≡ ΔBDA (cecha b−k−b) → |∡BAC| = 20^o

chichi: ΔCFD − równoramamienny ∧ ΔAFC − równoramienny → |∡BAC| = 20^o

chichi: Trochę spóźnione, ale nie miałem jakoś czasu

Maja: Dlaczego w ostatnim sposobie CDF jest równoramienny?

ajj: kąty trójkąta CDF : 80^o,80^o, 20^o czyli Δ CDF równoramienny |DF|=|CF|

maja: Dobrze, a dlaczego właśnie po odłożeniu odcinka EF mamy tam 20 stopni?

chichi: naturalnie, przedłużam do tego momentu, aż powstanie tam 20^o, aby CDF byl rownoramienny

maja: Ok, gdzieś się zakręciłam, a to takie proste. Dzięki

maja: Jednak nadal nie rozumiem, przedłużam żeby było 20 stopni, to wiem. Ale dlaczego wtedy na dole jest pomarańczowy odcinek?

Mariusz: Przyznasz Maju że te szkolne metody są o wiele łatwiejsze Trzeba było się trochę pobawić aby wynik uprościć ale upraszczanie nie było trudne

Mila: Obrót ΔCEB wokół punktu C o kąt 60^o.