wynik do zadania gabi03: Dany jest trójkąt ABC, w którym |AB|=18 oraz |BC|=30. Wiedząc, że ∠BAC=2∠BCA wyznacz jego pole. Czy ktoś mógłby podać mi sam wynik albo rozwiązanie bo mi wychodzi dziwnie

chichi: Jak może być sam wynik, to stawiam na S = 80√11

gabi03: Ojjjj to ja mam inny wynik ciekawe kto ma zle?

I'm back: To pokaż swoje obliczenia. Sprawdzimy

gabi03: A ty jaką masz odpowiedz I'm back?

wredulus_pospolitus: taką samą jak chichi −−− pokaż obliczenia ... jakby co mam 'gotowego gotowca'

gabi03: Ja mam ze P=162

wredulus_pospolitus: czego nie rozumiesz w tekście: "pokaż obliczenia"

chichi: Mi amigo... widzę, że wyszło Ci , że |AC|=18, ale niestety należy to odrzucić, gdyż: 4x=180^o ⇒ 2x=90^o → ΔABC jest równoramienny, prostokątny, zatem |BC|=18√2≠30 SPRZECZNE!

chichi: W trakcie Twojego rozwiązania powinna pojawić się druga możliwość, mianowicie |AC|=32 i tę należy przyjąć jako właściwą, bo jeżeli rozumowanie jest poprawnie przeprowadzone, to powinny pojawić się dwie możliwości na |AC|

wredulus_pospolitus: chichi ... jak liczyłeś pole? Ja wyznaczyłem sin(∡ABC)

gabi03: Tak mam też że a=32 bo wyszło mi z równania kwadratowego. A skąd wiedzieć którą odpowiedź wybrać?

wredulus_pospolitus: ponownie napiszę −−− POKAŻ SWOJE OBLICZENIA

chichi: @wredulus₋pospolitus coś dorysować i... korzystam z takich trójkącików i mam, że:

	32*5√11
S =		= 80√11 (k=3√11 oraz h=5√11)
	2

wredulus_pospolitus: No to ja poszedłem całkowicie inną drogą, czyli bawiłem się trygonometrią: wychodzimy z tw. sinusów:

b		a
	=
sinβ		sinα

b		sinβ
	=
a		sinα

30		sin(2α
	=
18		sinα

5		5		√11
	= 2cosα −−−> cosα =		−−−> sinα =
3		6		6

	5√11		7
−−> sin(2α) =		−−> cos(2α) =
	18		18

	√11*7 + 5*5√11
sin γ = sin(180 − (α+β)) = sin(α+β) = sinα*cosβ + cosα*sinβ =		=
	6*18

	8√11
	27

	1		18*30*8√11
PΔ =		ab*sinγ =		= 80√11
	2		54

chichi: " A skąd wiedzieć którą odpowiedź wybrać?" Czy czytałeś mój wpis z 21:32 ?

chichi: Równie sprytnie @wredulus₋pospolitus, dobre rozwiązanie. Ja wolę bez tryg...

wredulus_pospolitus: @chichi −−− gabi to raczej kobita

gabi03: ja mam tak 1)sinx=h/30 2)sin2x=h/18 2sinxcosx=h/18 sinx=h/36cosx 3)h/30=h/36cosx cosx=5/6 4)18²=a²+30²−2∙a∙30∙5/6 324=a²+900−50a a²−50a+576=0 Δ=2500−2304=196 a1=50+14/2=32 lub a2=50−14/2=18 i wzięłam to a2 nie wiem które wziąć?

Mila: Gabi jaki masz wynik? chichi mam trochę inny wynik. √11 zgadza się.

chichi: @wredulus₋pospolitus myślałem, że gabi−on, ale 'wzięłam' potwierdza, że kobita. Dzięki @gabi03 czytasz w ogóle nasze posty? Wyjaśniłem Ci wyżej, jak wyeliminować odpowiedź |AC|=18... można to zrobić też tak:

	5		5		7
cos(x)=		⇒ cos(2x)=2*(		)2−1=
	6		6		18

Tw. Carnota musi zachodzić również dla ∠BAC:

	7
302=|AC|2+182−2|AC|*18*		⇒ |AC|=32 ∨ |AC|=−18
	18

Które rozwiązanie jest wspólne? (ale polecam eliminację z 21:32 oczywiście)

chichi: @Mila nie chce wyjść inaczej... @wredulus₋pospolitus potwierdził mój wynik

gabi03: Mila ja mam że P=162 i nie wiem czemu mam źle a ty ile masz?

wredulus_pospolitus: gabi −−− jeżeli wychodzą dwie możliwości to bierzesz pod uwagę obie tak długo jak długo któraś ich nie odpadnie ze względu na jakieś założenia.

chichi: @Mila pokaż rozwiązanie

wredulus_pospolitus: @gabi −−− masz źle bo przy otrzymaniu dwóch wartości ostatniego boku, wybrałaś sobie (na ślepo) jedną z nich nie sprawdzając czy to w ogóle ma sens.

gabi03: Aha już rozumiem chichi nie widziałam tego. Sprawdzę teraz dla a=32 i powiem co wyszło

gabi03: zrobiłam tak p=18+32+30/2=40 P=pierw(40∙22∙8∙10) P=pierw(6400∙11) P=pierw(6400)∙pierw(11) P=80∙pierw(11)

wredulus_pospolitus: gabi ... błagam cię −−− NAWIASY (18+32+30)/2 (wcześniej też napisałaś h/36cosx zamiast h/(36cosx) ) Wierz mi −−− to jest ogromna różnica

Eta: Z podobieństwa trójkątów równoramiennych DBC i DAB

	30		18
		=		⇒ 18b=302−182 ⇒ b=32
	18+b		30

Ze wzoru Herona P(ABC)= √40*10*8*22=√4*10*4*2*2*11 P= 80√11 ======= Pozdrawiam

chichi: √4*10*4*2*2*11 = 8√110

chichi: @Eta zgubiłaś dychę

Eta: Tak , zgadza się ( to banał)

gabi03: Muszę jeszcze policzyć pole trójkąta w trapezie równoramiennym jak się tutaj rysuje?

Eta: Poprawiam "chochlika" P=√40*10*8*22=√4*10*10*4*2*2*11=80√11 teraz pasuje ?

chichi: Super @Eta , @gabi03 nad oknem pisania w prawym górnym rogu rysuję

Mila: Ja miałam błąd rachunkowy.

gabi03: Polecenie to tylko Wyznacz S.

gabi03: Ja na to zadanie nie mam nawet pomysłu a wy? Może za mało informacji

chichi: Wystarczająco.. S=52, rozwiązanie zostawiam Paniom P.S. Zakładaj nowe posty, jeśli wstawiasz nowe zadanie

gabi03: A czemu taki wynik?

kerajs: Może stąd, że pole niezaznaczonego trójkąta wynosi 8 j², a jego najdłuższy bok liczący √65 j dzielony jest przez wspólny wierzchołek trzech trójkątów w stosunku (od lewej) 5:3, co sprawia iż k=5 j².

chichi: Brawo Panie @kerajs, chociaż rozwiązanie mam nieco inne

Mariusz: Z wcześniej wymienionego wzoru Herona wynika że wynik S=52 jest fałszywy

	16+k+3k
Połowa obwodu to		= 8 + 2k
	2

√(2k+8)(2k−8)(8+k)(8−k)=52 (4k²−64)(64−k²)=2704 4(k²−16)(64−k²)−2704=0 (k²−16)(64−k²)−676=0 (k²−16)(k²−64)+676=0 k⁴−80k²+1024+676=0 k⁴−80k²+1700=0 (k²−40)²+100=0 i co k zespolone ?

chichi: @Mariusz 'k' i '3k' to pola tych trójkątów, nie zaczynaj znowu..

Mariusz: Z rysunku to nie wynika ale gdyby przyjąć że 'k' i '3k' to pola tych trójkątów to wynik może być Po tym jak przyjrzałem się wpisowi kerajsa to on też założył że 'k' i '3k' to pola tych trójkątów Tak przy założeniu że 'k' oraz '3k' pola tych trójkątów to nawet tyle wyjdzie o ile kerajs nie pomylił się w obliczeniach Co do wpisu kerajsa to Skąd wziął długość boku w tym 'niezaznaczonym trójkącie' Skąd wziął ten stosunek Jak znajomość tego stosunku oraz długości tego boku pozwala obliczyć k

wredulus_pospolitus: stąd wziął x² = 4² + 7²

wredulus_pospolitus: a wiemy, że dopisywany jest trójkąt prostokątny 3,4,5 z tego, że wcześniej policzyliśmy wysokość trapezu: h = 8

Mariusz: Wredulus ok długość boku już mamy Tak wysokość trapezu też policzyłem i wyszła mi taka jak tobie a co z tym stosunkiem no i jak mając stosunek i długość boku obliczyć k

Mariusz: Gdy będziemy mieli objaśniony sposób uzyskania wyników podanych przez kerajsa to będziemy mogli od pola trapezu (średnia arytmetyczna długości podstaw * długość wysokości) odjąć pola odpowiednich trójkątów i otrzymamy wynik

Mariusz: Mając ten stosunek oraz długość boku pole k można obliczyć stosując twierdzenie cosinusów w tym 'niezaznaczonym trójkącie' a następnie z jedynki trygonometrycznej obliczyć sinus Obliczony sinus można wykorzystać do policzenia pola k bo mamy kąty przyległe wredulus pokazał jak policzyć długość boku więc zostaje jeszcze do pokazania ten skąd kerajs wziął ten stosunek

Mila: Zadanie 1) |BC|=30 AD dwusieczna kąta A 1) ΔADB∼ΔABC cecha kkk

AB		BC
	=		⇔
f		AB

18		30		54
	=		⇔f=
f		18		5

	54		96
e=30−		=
	5		5

ΔADC−Δrównoramienny

	96
AD=e=
	5

2) Teraz można dalej na dwa sposoby I ) z podobieństwa Δ z (1)

e		b		96
	=		⇔30*		=18b
18		30		5

b=32 liczysz pole z wzoru Herona, to masz obliczone wyżej. ===================================== albo II) Liczysz pole Δ ADB z wzoru Herona

	18+e+f
p=		=24 [ e+f=30]
	2

i potem korzystasz z własności

S		f		54		96
	=		=		:		=9:16
S1		e		5		5

P_ΔABC=S+S₁

Mariusz: Co do pierwszego zadania to prawdopodobnie rozwiązałbym je tak jak wredulus

chichi: Ale Ty Mariusz utrudniasz wszystkie zadania... Wszystko na około

Mariusz: Rozwiązanie Mili też jest niezłe i dobrze skomentowany jest każdy jego krok Ja po prostu prawdopodobnie prędzej bym wpadł na rozwiązanie wredulusa gdybym samodzielnie miał to pierwsze zadanie rozwiązać

chichi: Ja mam na myśli Twoje komentarze odnośnie tego 2 zadania..

Mila: Cześć Mariuszu. Też mój pierwszy sposób byłby z zastosowaniem trygonometrii. Jednak czasem uczniowie wolą rozw. bez trytgonometrii. Jeżeli w trójkącie jeden z kątów jest dwa razy większy od .... to nasuwa się możliwość skorzystania z dwusiecznej i z podobieństwa. Może Gabi kiedyś wykorzysta.

chichi: @Mila a Ty jaki otrzymałaś wynik do zadania (2)

chichi: (1) k+v=9 ⇒ v=8−k (2) v=0.5*4*h ⇒ v=2h

	8−k
Z (1) i (2) mamy, że: h=
	2

	8+k
(3) h+H=8 ⇒ H=
	2

	1		8+k
(4) S=		*16*		=32+4k
	2		2

P_ABCD=80=32+4k+k+3k+8 ⇒ k=5 ⇒ S=52

chichi: k+v=8 **

Mariusz: k+v = 8 a to skąd wiemy bez liczenia długości brakującego boku poza tym to całkiem ładne rozwiązanie Co do pomysłu kerajsa to Może stąd, że pole niezaznaczonego trójkąta wynosi 8 j², a jego najdłuższy bok liczący √65 j dzielony jest przez wspólny wierzchołek trzech trójkątów w stosunku (od lewej) 5:3, co sprawia iż k=5 j². Jeśli chodzi o długość boku EC to nie wpadłem na to aby dorysować trójkąt prostokątny do boku ED Na ten stosunek wspomniany przez kerajsa jednak nie mam pomysłu Mając stosunek w jakim punkt O dzieli odcinek EC oraz długość odcinka EC mógłbym obliczyć k z trygonometrii Jeśli ty jej nie lubisz i masz zrozumiałe uzasadnienie bez trygonometrii to możesz je przedstawić

kerajs: Niestety nie wpadłem na żadne szybkie rozwiązanie, a wrzucenie trapezu w układ współrzędnych wydało mi się zbyt banalne. Moje rozwiązanie jest siermiężne w stosunku do powyższego, więc niechętnie je piszę ulegając pytaniu Mariusza: '' zostaje jeszcze do pokazania ten skąd kerajs wziął ten stosunek'' Do oznaczeń jak na rysunku dwa posty wyżej dodałem oznaczenia: ∡EAO=α, ∡COD=β i |EO|=x 3P_AEO=P_BCO

3		1
	*5*x*sin(1800−β)=		*10*(√65−x)*sin(2α−β)
2		2

3		16		1		4		4		37
	*5*x*		=		*10*(√65−x)*[2*		*		*		−
2		5√65		2		5		5		5√65

	16		9		16
		(		−		)]
	5√65		25		25

	5
x=		√65
	8

	1		5		16
PAEO=k=		*5*		√65*		=5
	2		8		5√65

kerajs:

chichi: "k+v = 8 a to skąd wiemy bez liczenia długości brakującego boku poza tym to całkiem ładne rozwiązanie"

	4
sinα =		= sinβ ( bo, β=180o−α, a sin(180o−α) = sinα )
	5

	1		4
PΔ =		*4*5*		= 8
	2		5

Ten krok uznałem za zbyt oczywisty do opisania, ale tu masz wyjaśnienie

chichi: "Mając ten stosunek oraz długość boku pole k można obliczyć stosując twierdzenie cosinusów w tym 'niezaznaczonym trójkącie' a następnie z jedynki trygonometrycznej obliczyć sinus Obliczony sinus można wykorzystać do policzenia pola k bo mamy kąty przyległe" Stąd mój wniosek, że chciałeś na około, bo zobacz jak łatwo dobieramy się do sinusa

Mariusz: Dobrze ale skąd wiemy że α+β=180° czyżby ten trapez można było wpisać w okrąg kerajs , po odpowiedzeniu na moje pytania twój pomysł na rozwiązanie staje się bardziej zrozumiały Skąd długość brakującego boku (To pytanie okazało się łatwe po dorysowaniu trójkąta prostokątnego bo wtedy wystarczyło zastosować twierdzenie Pitagorasa) Skąd ten stosunek Jak wykorzystać stosunek i długość boku do obliczenia k (Na początku nie miałem na to pomysłu ale gdy wredulus zaproponował dorysowanie trójkąta prostokątnego i było zrozumiałe jak otrzymać długość boku zacząłem bawić się trygonometrią i znalazłem sposób) Ja chciałem rozwiązywać w tej kolejności co podałeś we wpisie z 26 sie 10:36 i ciekaw byłem skąd otrzymałeś ten stosunek w jakim punkt O dzieli odcinek EC (5:3) Co do twojego wpisu z 26 sie 21:16 to jeszcze nie widzę skąd te kąty przy sinusach Tak , tak zgadzam się że rozwiązanie chichiego jest eleganckie i nawet dość zrozumiałe No tak ja chciałem policzyć sinus innego kąta − przyległego do tego występującego w trójkącie AEO bo chciałem wykorzystać pomysł kerajsa

chichi: "Dobrze ale skąd wiemy że α+β=180° czyżby ten trapez można było wpisać w okrąg" @Mariusz mam wrażenie jakbyś w ogóle nie wiedział czym jest trapez... "czyżby ten trapez można było wpisać w okrąg " − każdy trapez równoramienny można

chichi: Suma miar kątów wewnętrznych leżących przy tym samym ramieniu dowolnego trapezu jest równa 180°

Mariusz: trapez − czworokąt w którym przynajmniej jedna para boków jest równoległa no teraz widać No tak jak przetniemy kąt prostą równoległą to otrzymany w ten sposób kąt będzie miał tę samą miarę Tak właściwie to nie zaszkodzi rozbierać to zadanie do rzeczy które mogą wydawać się oczywiste bo wtedy rozwiązanie będzie zrozumiałe nawet gdybyśmy chcieli wrócić do rozwiązywania takich zadań po latach

chichi: Przecież to są podstawowe własności figur, które poznajemy już we wczesnych latach szkoły podstawowej, czy uważasz, że rozwiązując zadanie np. z równoległobokiem należy pisać, że przeciwległe boki są wzajemnie równoległe, czy to coś oczywistego?

Mariusz: Co do mnie to widać że mózg mi ostatnio zbyt dobrze nie pracuje a przecież nie jestem jeszcze aż taki stary

chichi: Może to przemęczenie. Do geometrii, do tego kombinowania trzeba mieć świeży umysł