całka mardel:

	1
Oblicz całkę ∫01/x		dy
	√2+sin(y)

mat: To jest pełne polecenie? Czy może ta całka to była funkcja do czegos innego?

mat: całke oczywiście da sie rozwiązac standardowym podstawieniem t = tg(x/2) a stąd

	2t
sinx =
	1+t2

	2dt
dx =
	1+t2

podstaw, policz.. tu masz wynik https://www.wolframalpha.com/input/?i=int+1%2F%28sqrt%282%29%2Bsinx%29+dx

mardel: Czyli tylko tak? Wolfram pokazuje dość skomplikowaną odpowiedz

mat: wcale nie odpowiedz to 2arctg(√2tg(x/2)+1)

mat: samej całki, tam oczywiście y (w kontekście twojego polecenia), całka oznaczona już prosto

Szkolniak: Pobawię się podstawieniem uniwersalnym:

	y
t=tan(		)
	2

	2t		2
→ sin(y)=		, dy=		dt
	t2+1		1+t2

Najpierw całka nieoznaczona:

	1
∫		dy=
	sin(y)+√2

	2		1
=∫		*		dt=
	2t   +√2 t2+1		1+t2

	2		1
=∫		*		dt=
	2t+√2(t2+1)   t2+1		t2+1

	2(t2+1)		1
=∫		*		dt=
	2t+√2(t2+1)		t2+1

	2
=∫		dt=
	√2t2+2t+√2

	1
=2∫		dt=
	√2t2+2t+√2

	1
=2∫		dt=
	√2(t2+√2t+1)

	1
=√2∫		dt
	t2+√2t+1

Zajmiemy się mianownikiem:

	1		1		√2		1
t2+√2t+1=t2+√2t+		+		=(t+		)2+
	2		2		2		2

Wracamy do całki:

	1
√2∫		dt=
	t2+√2t+1

	1
=√2∫		dt=
	√2   1   (t+ )2+( )2   2   √2

=√2*√2arctan(√2t+1)+C= =2arctan(√2t+1)+C=

	y
=2arctan(√2tan(		)+1)+C
	2

Zatem całka w zadaniu:

	1
01/x∫		dy=
	sin(y)+√2

	y
=2[arctan(√2tan(		)+1)]01/x=
	2

	1
=2(arctan(√2tan(		)+1)−arctan(√2tan(0)+1)=
	2x

	1
=2arctan(√2tan(		)+1)−2arctan(1)
	2x

	1		π
=2arctan(√2tan(		)+1)−
	2x		2

Zaznaczam że to mój pierwszy przykład z zastosowaniem podstawienia uniwersalnego, także mogą pojawiać się błędy Może ktoś też zrobi i sprawdzi się poprawność mojego wyniku, którego jestem bardzo ciekaw

chichi: Brawo @Szkolniak całkę nieoznaczoną masz policzoną dobrze, sprawdź link 00:11

Szkolniak: Dzięki wielkie za informację @chichi, trochę się w tym zaplątałem i robienie przykładu się przedłużyło, stąd nie widziałem że ktoś już tutaj odpowiedział, dzięki jeszcze raz

Mariusz: Szkolniak aby sprawdzić czy otrzymałeś poprawną funkcję pierwotną mogłeś sprawdzić różniczkując ją Całka oznaczona to różnica wartości funkcji pierwotnej na krańcach przedziału całkowania Ostatnie zdanie to nie jest definicja całki oznaczonej tylko treść twierdzenia Newtona Leibniza Jeżeli dla każdego ciągu podziałów przedziału [a,b] granica sumy pól prostokątów o podstawie Δx_i i wysokości f(ξ) gdzie ξ ∊ [x_i,x_i+1] przy max(Δx_i,i=1..n) dążącym do zera istnieje i jest równa (niezależnie od wyboru podziału przedziału dostajesz taką samą wartość tej granicy) to granica ta jest całką oznaczoną funkcji f(x) na przedziale [a,b] Szkolniak jak tam dopiero zaczynasz zabawę z całkami ? Jeśli masz dostęp do biblioteki to przejrzyj sobie takie książki F Leja Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych G M Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy (tutaj masz trzy tomy) Ze zbiorów zadań W Krysicki L Włodarski Analiza Matematyczna w zadaniach Jeśli korzystasz tylko z sieci to tutaj możesz znaleźć http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon15/mon1504.pdf albo http://kielich.amu.edu.pl/Stefan_Banach/pdf/rachunek2.pdf

Mariusz: Wygląda na to że liczył całkę podwójną bądź potrójną a podał jedynie jedną z całek Jeśli tak to mógł podać oryginalną całkę którą miał do policzenia bo czasami zmiana kolejności całkowania albo zamiana zmiennych może uprościć liczenie całki

Szkolniak: @Mariusz zaczynać to aż tak typowo od zera nie zaczynam, trochę całek już policzyłem ale nie jest to taka regularna nauka, chciałem po prostu umieć podstawy i postanowiłem że sam w domu coś tam sobie będę od czasu do czasu przeglądał i próbował Dostęp do biblioteki mam tylko ze w najbliższej mojej bibliotece za dużo matematycznych książek nie ma, także musiałbym popatrzeć w dalszych bibliotekach Na ten moment trochę się rozleniwiłem przez te wolne i też czekam na rozpoczęcie studiów, także za nic tak porządnie się jeszcze nie zabieram Co do Fichtenholza to mam bodajże na telefonie 3 jego części, ale bardzo dużo tego materiału tam i na razie tak tylko trzymam te pdf w telefonie

mardel: dzieki a czy granica istnieje? lim{x→0} 2xarctg(√2tg(x/2)+1)=