granica student:

	n*ln(n)
Wyznacz wszystkie t takie ze limn→∞ |sin(		)| ≠ 1
	t−n

Adamm: Niech f(x) = d(x, Z).

	n*ln(n)
limn→∞ |sin		| = 1
	n−t

	n*ln(n)		π
⇔ d(		,		+πZ) → 0
	n−t		2

	2n*ln(n)−π(n−t)
⇔ f(		) → 0
	2π(n−t)

Proste nierówności f(x) ≤ |x−y|+f(y) pokazują nam, że tak długo jak różnica dwóch ciągów x_n−y_n → 0, to f(x_n) → 0 ⇔ f(y_n) → 0

	1		1
(1/2π)[2n*ln(n)−π(n−t)](		−		) → 0
	n−t		n

Więc

	2n*ln(n)−π(n−t)
f(		) → 0
	2π(n−t)

	ln(n)
⇔ f(		−1/2) → 0
	π

co tak naprawdę nawet nie zależy od t

student: W sumie pokazałeś ze ta granica jest zawsze 1 niezależnie od t?

Adamm: Nie, pokazałem że albo dla każdego t zbiega do 1, albo dla żadnego.

student: "pokazałem że albo dla każdego t zbiega do 1, albo dla żadnego" nie rozumiem tego stwierdzenia

Adamm: A tutaj dowód że nigdy to nie zachodzi. Gdyby ln(2)/π oraz ln(3)/π były wymierne, to log₂3 byłby wymierny, sprzeczność. Zatem ln(p)/π dla p = 2 lub p = 3 jest niewymierny. Biorąc podciąg pⁿ dostajemy, że ln(pⁿ)/π − 1/2 = n*ln(p)/π − 1/2 jest jednostajnie gęsty mod 1. Zatem w szczególności, ln(n)/π − 1/2 może być dowolnie blisko 1/2. Stąd f(ln(n_k)/π − 1/2) > 1/2 dla pewnego podciągu n_k.

Adamm: "ln(n)/π − 1/2 może być dowolnie blisko 1/2" mod 1

Adamm: "Stąd f(ln(n_k)/π − 1/2) > 1/2 dla pewnego podciągu n_k." To akurat jest bełkot bo f(x) ≤ 1/2. Chodziło o np. f(ln(n_k)/π − 1/2) > 1/4.

Adamm: Okazuje się że nawet można pokazać że np. ln(2)/π jest niewymierne. Gdyby było wymierne, to e^π = 2^π/ln(2) byłoby algebraiczne, a jest przestępne. https://en.wikipedia.org/wiki/Gelfond%27s_constant Więc spokojnie można było wziąć p = 2.