równanie
M12: Rozwiąż równanie 2|tg(π x)| − cos(2 π x) = −1
23 sie 10:45
kerajs: Kiedy tangens jest zerem, a kosinus jedynką?
23 sie 10:47
RysiO: 2|tg(πx)|−cos(2πx)=−1
cos(2πx)−2|tg(πx)|=1
Niech u = πx, wtedy:
cos(2u)−2|tg(u)|=1
cos(2u)−2tg(u)=1
cos
2(u)−sin
2(u)−2tg(u)=sin
2(u)+cos
2(u)
2sin
2(u)+2tg(u)=0
sin
2(u)+tg(u)=0
| sin2(u)cos(u)+sin(u) | |
| =0 ⇔ sin2(u)cos(u)+sin(u)=0 ⇔ sin(u)(sin(u)cos(u)+1)=0 |
| cos(u) | |
sin(u)=0 ∨ sin(2u)=−2
u=kπ ⇔ πx=kπ ⇔ x=k ∊ D
| | π | |
Dla u ∊ < |
| +kπ, π+kπ> : |
| | 2 | |
cos(2u)+2tg(u)=1
cos
2(u)−sin
2(u)+2tg(u)=sin
2(u)+cos
2(u)
2sin
2(u)−2tg(u)=0
sin
2(u)−tg(u)=0
| sin2(u)cos(u)−sin(u) | |
| =0 ⇔ sin2(u)cos(u)−sin(u)=0 ⇔ sin(u)(sin(u)cos(u)−1)=0 |
| cos(u) | |
sin(u)=0 ∨ sin(2u)=2
u=kπ ⇔ πx=kπ ⇔ x=k ∉ D
Rozwiązanie:
x=k, k ∊ Z
23 sie 18:27
kerajs:
2|tg(π x)| +1= cos(2 π x)
Zbiór wartości lewej strony to <1;∞> , a prawej <−1, 1>.
Rozwiązaniem, o ile takie istnieje, są rozwiązania układu:
2|tg(π x)| +1=1 ⋀ cos(2 π x) = 1
23 sie 19:01