maks olo:

	2sin(x)cos(x)
Wyznacz maksymalną wartość		dla x(0;π/2)
	(1+cos(x))(1+sin(x))

Szkolniak:

	sin(2x)		sin(2x)
f(x)=		=
	(1+cos(x))(1+sin(x))		1+sin(x)+cos(x)+sin(x)cos(x)

	...
f'(x)=		(licznik się nie mieści)
	(1+sin(x)+cos(x)+sin(x)cos(x))2

Licznik: 2cos(2x)(1+sin(x)+cos(x)+sin(x)cos(x))−sin(2x)(cos(x)−sin(x)+cos(2x))= =2cos(2x)+2cos(2x)sin(x)+2cos(2x)cos(x)−sin(2x)cos(x)+sin(x)sin(2x)= =2cos(2x)+2cos(2x)sin(x)+2cos(2x)cos(x)+sin(x)sin(2x)−sin(2x)cos(x)= =2cos(2x)(1+sin(x)+cos(x))+sin(2x)(sin(x)−cos(x))= =2(cos(x)−sin(x))(cos(x)+sin(x))(1+sin(x)+cos(x))−sin(2x)(cos(x)−sin(x))= =(cos(x)−sin(x))[2(cos(x)+sin(x))(1+sin(x)+cos(x))−sin(2x)]= =(cos(x)−sin(x))((2cos(x)+2sin(x))(1+sin(x)+cos(x))−sin(2x))= =(cos(x)−sin(x))(2cos(x)+sin(2x)+2cos²(x)+2sin(x)+2sin²(x)+sin(2x)−sin(2x))= =(cos(x)−sin(x))(2cos(x)+sin(2x)+2+2sin(x)) Zajmiemy się drugim nawiasem: 2cos(x)+2sin(x)cos(x)+2cos²(x)+2sin²(x)+2sin(x)= =sin²(x)+2sin(x)cos(x)+cos²(x)+sin²(x)+cos²(x)+2sin(x)+2cos(x)= =(sin(x)+cos(x))²+2(sin(x)+cos(x))+1 =(sin(x)+cos(x)+1)² Stąd:

	(cos(x)−sin(x))(sin(x)+cos(x)+1)2
f'(x)=
	(1+sin(x)+cos(x)+sin(x)cos(x))2

f'(x)=0 ⇔ (1) sin(x)=cos(x) v (2) (sin(x)+cos(x)+1)²=0

	π		π
(1) w przedziale (0;		) taka równość zachodzi jedynie dla x=
	2		4

(2) sin(x)+cos(x)=−1

	π
√2sin(x+		)=−1
	4

	π
2sin(x+		)=−√2
	4

	π		√2
sin(x+		)=−
	4		2

	π		5		π		7
x+		=		π+2kπ v x+		=		π+2kπ, k∊C
	4		4		4		4

	3
x=π+2kπ v x=		π+2kπ
	2

Po sprawdzeniu widzimy, że nie ma żadnego rozwiązania w przedziale podanym w treści zadania

	π		sin(90o)		1
f(		)=		=		=
	4		(1+cos(45o))(1+sin(45o))		√2   (1+ )2   2

	1		2		2(2−√2)
=		=(		)2=(		)2=
	2+√2   ( )2   2		2+√2		(2−√2)(2+√2)

	2(2−√2)
=(		)2=(2−√2)2
	2

Teraz wypadałoby chyba za pomocą nierówności pokazać, że to jest rzeczywiście maksimum, ale to już sobie chyba odpuszczę.. Sprawdziłem na GeoGebrze i według wykresu funkcji i prostej y=(2−√2)² wychodzi że wynik jest ok

123: A nie łatwiej z tym podstawieniem? http://matematykadlastudenta.pl/strona/1198.html

Szkolniak: Dużo prościej z tego co teraz widzę na kartce, ale nie użyłem nigdy tego podstawienia więc w sumie nawet o nim nie pomyślałem Problem w tym że dochodzę do momentu gdzie mam równania w których używam kalkulatora, inaczej nie wiem jak zrobić:

	x		x
tan(		)=√2−1 v tan(		)=−1−√2
	2		2

	x		x
		=22,5o v		=−67,5o
	2		2

x=45^o v x=−135^o

RysiO: Możesz zrobić tak:

	x   2tg( )   2
tan(x)=
	x   1−tg2( )   2

Zatem np.

	x		2√2−2		2√2−2		π
tan(		)=√2−1 ⇔ tanx=		=		=1 ⇔ x=
	2		1−(2−2√2+1)		2√2−2		4

Drugie podobnie.

123:

	1−t		2
2t		= 2(3−(t+1+		)) ≤ 2(3−2√2)
	1+t		t+1