równanie IMAM: Rozwiąż równanie (y+y√x² y⁴−1)dx+2xydy=0

Szkolniak: (y+y√x²y⁴−1)dx=−2xydy

	dy
(y+y√x2y4−1)=−2xy
	dx

(y+y√x2y4−1)		dy
	=
−2xy		dx

(1+√x2y4−1)		dy
	=−		, y≠0
2x		dx

1		√x2y4−1		dy
	+		=−
2x		2x		dx

1		√x2y4−1		dy
	+		=−
2x		√4x2		dx

1		x2y4−1		dy
	+√		=−
2x		4x2		dx

1		x2y4		1		dy
	+(√		−		)=−
2x		4x2		4x2		dx

1		y4		1		dy
	+(√		−(		)2)=−
2x		4		2x		dx

Ja doszedłem jedynie do takiej postaci równania − może ktoś to poprowadzi dalej jeśli jest w ogóle ok..

Mariusz: Tutaj będzie trudno Równania pierwszego rzędu typów wyróżnianych w skryptach i podręcznikach można rozwiązać sprowadzając je do jednego z następujących typów 1. Równanie o rozdzielonych zmiennych czyli równanie postaci y'=f(x)g(y) Po doprowadzeniu równania do wyżej wymienionej postaci wystarczy równanie podzielić przez g(y) a następnie scałkować obustronnie 2. Równanie liniowe pierwszego rzędu czyli równanie postaci y'+p(x)y=q(x) Niech y₁ będzie całką szczególną równania jednorodnego y'+p(x)y=0 Zakładamy że całka szczególna równania niejednorodnego jest postaci y_s=C(x)y₁, wstawiamy tę postać całki szczególnej do równania i obliczamy funkcję C(x) Podczas całkowania wystarczy wziąć jedną funkcję pierwotną ponieważ całka ogólna równania niejednorodnego jest równa sumie całki ogólnej równania jednorodnego oraz całki szczególnej równania niejednorodnego 3. Równanie zupełne Różniczka funkcji F(x,y)

	δF		δF
dF =		dx+		dy
	δx		δy

Z twierdzenia Schwarza o pochodnych mieszanych mamy że

δF		δF
	=
δxδy		δyδx

Równanie zupełne jest to równanie postaci P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 w którym zachodzi warunek wynikający z twierdzenia Schwarza czyli

δP		δQ
	=
δy		δx

Po sprawdzeniu tego warunku rozwiązujemy układ równań

δF
	=P(x,y)
δx

δF
	=Q(x,y)
δy

Rozwiązaniem w postaci uwikłanej jest F(x,y)=C Uwagi co do sprowadzania równań pewnego typu do równań innego typu Równanie można sprowadzić do równania innego typu a) stosując podstawienie Dla pewnych typów równań takich jak równania jednorodne, Bernoulliego, Riccatiego przy danej całce szczególnej podstawienia są już znane i wystarczy je zastosować Problemem może być tutaj np policzenie potrzebnych całek Dla innych równań podstawienie trzeba wymyślić i tutaj bywa z tym różnie , czasami spostrzegawczość rozwiązującego może pomóc b) mnożąc równanie przez czynnik całkujący Sprowadzanie równania do równania zupełnego Jeżeli warunek

	δP		δQ
		=
	δy		δx

nie jest spełniony to możemy poszukać takiej funkcji μ(x,y) aby spełniony był warunek

	δμP		δμQ
		=
	δy		δx

Gdy μ(x,y) zależy tylko od jednej zmiennej to dość łatwo jest znaleźć czynnik całkujący Nieco trudniej jest gdy jest on w postaci φ(x)ψ(y) Mamy wtedy tzw czynnik całkujący o rozdzielonych zmiennych Jeszcze trudniej jest znaleźć czynnik całkujący postaci G(ω(x,y)) wtedy zadanie znalezienia czynnika całkującego upraszcza się gdy mamy daną funkcję ω(x,y) Przy danej funkcji ω(x,y) znalezienie Funkcji G(t) jest już łatwiejsze c) wprowadzając parametr Równanie różniczkowe Lagrange może być tutaj przykładem Równanie postaci y=f(y')x + g(y') różniczkujemy obustronnie , wprowadzamy parametr p = y' i sprowadzamy to równanie do liniowego pierwszego rzędu gdzie wprowadzony parametr jest zmienną niezależną a x zmienną zależną Czasami gdy nie mamy pomysłu na to jak rozwiązać równanie y'=f(x,y) łatwiejszym do rozwiązania może okazać się równanie x'=f(x,y)

kerajs: To równanie wygląda na błędnie przepisane. Dziwny jest ten skracający się y−grek, który i tak nie należy do dziedziny równania, więc nie może tam być punktu/rozwiązania osobliwego.