granica elwira: Wykaż ze jesli f:R→R jest ciągła oraz lim_x→∞ f(f(x))=∞ to lim_x→∞ |f(x)|.=∞

wredulus_pospolitus: zauważ, że gdyby lim_x−>∞ f(x) = g gdzie g∊R oraz lim_x−>∞ f(f(x)) = ∞ wtedy f(g) = ∞ co jest sprzeczne z ciągłością funkcji

mat: pozostaje jeszcze przypadek gdyby lim_x f(x) nie miał granicy idea tez moze byc taka, ze skoro f: R→R jest ciągła to nie ma asymptoty pionowej a to oznacza że zbliżanie sie f to ∞ musi być związane z dążeniem argumentu do ∞ lub −∞ a to oznacza że moduł z tego argumentu (czyli tutaj |f(x)|) dąży do ∞

wredulus_pospolitus: @mat ... to akurat szybko się załatwia: jeżeli lim f(x) nie istnieje to nie istnieje lim f(f(x)) − sprzeczność i pozamiatane

mat: tutaj tak, na ogół trzeba być czujnym bo np weźmy f(x) = 1 dla dla x∊ (1,2) u (3,4) u (5,6) u ... oraz f(x) = 0 dla pozostałych x wtedy lim f(x) nie istnieje, ale lim f(f(x)) = 0 bo f(1) =0 i f(0) = 0

Adamm: Trochę inaczej. Ggydby lim_x→∞ f(x) = ∞ nie zachodziło, to istnieje ciąg x_n → ∞ taki że |f(x_n)| → g, więc rozważając podciąg możemy założyć f(x_n) → g. Reszta jak u wredulusa.