całka student:

	x2 − 1
Oblicz całkę ∫		dx
	(x2 + 1)√1 + x4

jc:

	x √2		1−x2
Proponuję podstawienie t=		, dt=√2		dx
	1+x2		(1+x2)2

	1+x4
1+t2=
	(1+x2)2

	dt		1+x2		1−x2
∫		=∫		√2		dx
	√1+t2		√1+x4		(1+x2)2

	1−x2
= √2∫		dx
	(1+x2)√1+x4

Twoja całka = sh⁻¹ t = ln(t + √1+t²) Musisz tylko t wyrazić przez x.

student:

	1
Ja mam w podpowiedzi aby podstawić t=x +
	x

I'm back: To skoro masz taką podpowiedź to wykonaj tak jak w podpowiedzi

student: ok

I'm back:

	x2 + 1		x2 − 1
t =		; dt =
	x		x2

student: a jak tę policzyć mam samą odpowiedź bez wskazówki: ∫e^2arctg(x)(1+x)dx

jc: Twoje t to odwrotność mojego t, a wiec właściwie to samo. ((1+x²)e^{2 arctg x})' = 2x e^{2 arctg x} + 2e^{2 arctg x} = 2(1+x)e^{2 arctg x} Wniosek

	1
Całka =		(1+x2)e2 arctg x
	2

Mariusz: Ja tę całkę z pierwszego wpisu jakiś czas temu policzyłem w podobny sposób jak ci to zasugerowali tą podpowiedzią Całkę ∫(1+x)e^2arctgxdx można by spróbować policzyć normalnie przez części ∫(1+x)e^2arctgxdx dv = (1+x) dx u = e^2arctgx

	1		e2arctgx
v =		(1+x)2 du = 2		dx
	2		1+x2

	1		(1+x)2
∫(1+x)e2arctgxdx=		(1+x)2e2arctgx−∫		e2arctgxdx
	2		1+x2

	1		1+x2+2x
∫(1+x)e2arctgxdx=		(1+x)2e2arctgx−∫		e2arctgxdx
	2		1+x2

	1		2x
∫(1+x)e2arctgxdx=		(1+x)2e2arctgx−(∫e2arctgxdx+∫		e2arctgxdx)
	2		1+x2

	2x
∫		e2arctgxdx
	1+x2

	2e2arctgx
dv =		dx u = x
	1+x2

v = e^2arctgx du = dx

	1
∫(1+x)e2arctgxdx=		(1+x)2e2arctgx−(∫e2arctgxdx+xe2arctgx−∫e2arctgxdx)
	2

	1
∫(1+x)e2arctgxdx=		(1+x)2e2arctgx−xe2arctgx +C
	2

	1
∫(1+x)e2arctgxdx=		(1+x2)e2arctgx+C
	2

Mariusz: jc chyba źle policzyłeś tę całkę z pierwszego wpisu bo mnie wyszedł arcus tangens a sprawdziłem wynik różniczkowaniem

jc: Mariusz, masz rację, źle policzyłem pierwszą całkę. Za to policzyłem inną całkę...

	x
t=√2
	1−x2

	1+x2
dt = √2		dx
	(1−x2)2

	1+x4
1+t2 =
	(1−x2)2

	dt		1+x2
∫		= √2∫		dx
	√1+t2		(1−x2)√1+x4

Mariusz: Jeżeli dobrze pamiętam to nie tak dawno temu policzyłem całkę

	x2
∫		dx
	(1−x4)√1+x4

rozbijając ją na sumę całek

	x2		x2−1		x2+1
∫		dx = a∫		dx+b∫		dx
	(1−x4)√1+x4		(x2+1)√x4+1		(x2−1)√x4+1

bo nie miałem innych pomysłów i dopiero po jej obliczeniu wpadłem na pasujące podstawienie

jc: Poprawiam

	x		1−x2		1+x4
t=√2		, dt = √2		, 1−t2=
	1+x2		(1+x2)2		(1+x2)2

	dt		1−x2
∫		= √2 ∫		dx
	√1−t2		(1+x2)√1+x4

	1		x
całka =		arcsin √2
	√2		1+x2

Mariusz: Teraz mamy takie same wyniki tylko ja mam wyrażony za pomocą funkcji arctg(t) a ty za pomocą funkcji arcsin(t)

jc: Mariusz, coś takiego?

	1		x √2
całka =		arctg
	√2		√1+x4

Mariusz: Chyba z minusem (ze względu na nieparzystość arcusa tangensa nie ma znaczenia czy postawimy go przed arcusem czy w argumencie arcusa) Dostałem taki wynik gdy za pierwszym razem podstawiłem

	1
t = x+
	x

a za drugim razem podstawiłem u = √t²−2 Gdy zaś za drugim razem skorzystałem z podstawienia Eulera √t²−2 = u − t to otrzymałem

	1+x2+√1+x4
√2arctg(		)+C
	√2x

(wkrótce 6 lat minie jak tę całkę ostatnio liczyłem)

www:

	x4 − 1
∫		dx
	(x4 + 6x2 + 1)√x4 + x2 + 1

www: Mariusz a tę jak?

Mariusz: Tutaj też działa podobny pomysł Pierwsze podstawienie

	1
t = x +
	x

Drugie podstawienie u = √t²−1 choć jak kto lubi to może użyć pierwszego podstawienia Eulera √t²−1=u−t Tutaj jednak nieco szybsze będzie jednak podstawienie u = √t²−1