wielomiany Zak: Wykaż że jeśli c i d są całkowite, c≠0 i d>0 to równanie x³ − 3cx² − dx + c = 0 ma nie więcej niż jeden pierwiastek wymierny.

mat: Na pewno równanie takie nie może mieć dwóch pierwiastków wymiernych (bo wtedy trzeci musi być niewymierny) iloczyn tych pierwiastków byłby bowiem liczbą niewymierną, a ze wzorów Viete'a równy jest on c (które jest całkowite, sprzeczność)

mat: −c* (ale to nic nie zmienia)

mat: gdyby były trzy pierwiastki wymierne − powiedzmy x₁, x₂, x₃ to (wzory Viete'a) x₁*x₂*x₃ = −c x₁+x₂+x₃ = 3c x₁*x₂+x₁*x₃+x₂*x₃=−d Z założenia d>0 a zatem z ostatniego równania na pewno jeden lub dwa pierwiastki są ujemne

mat: Oczywisćie skoro c jest całkowite to x₁, x₂ i x₃ tez by musiały być liczbami całkowitymi (twierdzenie o pierwiastkach całkowitych). Spróbuj sie pobawic dalej

wredulus_pospolitus: " Oczywisćie skoro c jest całkowite to x1, x2 i x3 tez by musiały być liczbami całkowitymi (twierdzenie o pierwiastkach całkowitych). Spróbuj sie pobawic dalej" Heeee Trochę inaczej działa to twierdzenie. Zresztą podaję przykład pasujący do zadania: niech x₁ = 1 ; x₂ = 1+√2 ; x₃ = 1−√2 −c = x₁*x₂*x₃ = 1*(2−1) = −1 −> c = 1 co więcej: 3c = x₁+x₂+x₃ = 1+ 1 + √2 + 1 − √2 = 3 = 3*1 a na dokładkę: −d = 1+√2 + 1 − √2 + 1 − 2 = 1 −−−> d = −1 pasuje jak ulał czyż nie

mat: albo inaczej f(0) = c f(1) = 1 − 2c −d = 1−d −2c f(−1) = −1 −2c +d = −(1−d) − 2c Jeżeli c>0 to f(1)<0 lub f(−1)<0 zatem istnieje pierwiastek pomiędzy (0,1) lub (0,−1) a zatem musi być niewymierny (zgodnie z uwagą z 01:28) więc pozostałe są dwa wymierne (a tak nie moze byc) lub jeden Został przypadek gdy c<0

mat: wredulusie JEŻELI ZAKŁADAMY ŻE TRZY PIERWIASTKI SĄ WYMIERNE (bo taki przypadek rozważałem) to musiały by to być dzielniki c

mat: tam oczywiscide (0,1) lub (−1,0)** ale mysle ze zrozumiałe Zatem została do pokazania sytuacja ze nie moze sie zdarzyc ze są 3 pierwiastki całkowite przy c<0

mat: wtedy (gdy c<0) mozna zuawazyc, ze x³−3cx²−dx+c>0 dla x≥1 zatem wszystkie trzy pierwiastki całkowite musiałyby być ujemne, ale to jest w sprzeczności z trzecim równaniem w 01:18 troche chaos.. ale mam nadzieje, ze sobie to połączysz i ogarniesz. Mam nadzieje, ze nie popełnilem nigdzie głupiego błędu