równanie student: Znajdz rozwiązanie ogólne równania y'''=2xy'

mat: proste to nie będzie...

mat: moze metoda z rozwinięciem y w postaci szeregu?

Mariusz: Tutaj łatwo obniżyć rząd ale podczas całkowania możemy otrzymać całkę nieelementarną (funkcja błędu zespolonego argumentu lub funkcję Γ)

Mariusz: Można to równanie rozwiązać normalnie y'''=2xy' u=y' u''=2xu u''−2xu'=0 u'=uz u'z+z'u−2xuz=0 u'=uz uz*z+z'u−2xuz=0 u'=uz z'−2xz=−z² A tutaj już mamy układ który stosunkowo łatwo rozwiązać bo jedno równanie w tym układzie jest równaniem o rozdzielonych zmiennych a drugie równanie w tym układzie jest równaniem Bernoulliego Problemem może być jednak policzenie potrzebnych całek

Mariusz: Dostaniemy jednak układ z równaniem Riccatiego u''−2xu=0 u'=uz u'z+uz'−2xu=0 u'=uz uz*z+uz'−2xu = 0 u'=uz z'+z²−2x=0 u'=uz z'=−z²+2x

	4k
I teraz wykładnik przy x nie jest postaci		gdzie k ∊ ℤ
	1−2k

więc nie będzie tego równania aż tak łatwo sprowadzić do równania które można by łatwiej scałkować Można wprawdzie poszukać całki szczególnej ale może nie być aż tak łatwo jej znaleźć

Mariusz: Rozwiązanie będzie wyrażone funkcjami Bessela więc jednak całkowanie szeregami może być dobrym pomysłem

Mariusz: To może spróbuję pokazać jak sprowadzić to równanie do równania Bessela y'''=2xy' Najpierw podstawienie zmieniające zmienną zależną i obniżające rząd równania u=y' u''=2xu u''−2xu=0 Teraz podstawienie zmieniające zmienną niezależną

	2√2
t=		x3/2
	3

dt
	= √2x1/2
dx

	3
x3/2=		t
	2√2

	3√3
x1/2 =		t1/3
	√2

	3√9
x =		t2/3
	2

dt
	= 3√3 t1/3
dx

du		du		dt
	=
dx		dt		dx

du		du
	= (3√3 t1/3)
dx		dt

d2u		d		du
	=		(		)
dx2		dx		dx

d2u		d		du		dt		dt
	=		(				)
dx2		dt		dt		dx		dx

d2u		d		du
	=		(		(3√3 t1/3))(3√3 t1/3)
dx2		dt		dt

d2u		d2u		3√3		du
	=(		(3√3 t1/3)+		t−2/3		)(3√3 t1/3)
dx2		dt2		3		dt

d2u		d2u		3√9		du
	=3√9t2/3		+		t−1/3
dx2		dt2		3		dt

d2u		d2u		3√9		du
	−2xu=3√9t2/3		+		t−1/3		−3√9t2/3u
dx2		dt2		3		dt

	d2u		1		du
t2/3		+		t−1/3		−t2/3u=0
	dt2		3		dt

u(t)=v(t)z(t) u'(t)=v(t)z'(t)+v'(t)z(t) u''(t)=v(t)z''(t)+v'(t)z'(t)+v'(t)z'(t)+v''(t)z(t) u(t)=v(t)z(t) u'(t)=v(t)z'(t)+v'(t)z(t) u''(t)=v(t)z''(t)+2v'(t)z'(t)+v''(t)z(t) t^2/3(v(t)z''(t)+2v'(t)z'(t)+v''(t)z(t))+

1
	t−1/3(v(t)z'(t)+v'(t)z(t))−t2/3v(t)z(t)=0
3

	1
t2/3v(t)z''(t)+(2t2/3v'(t)+		t−1/3v(t))z'(t)+
	3

	1
(t2/3v''(t)+		t−1/3v'(t)−t2/3v(t))z(t)=0
	3

1   2t2/3v'(t)+ t−1/3v(t)   3		t
	=
t2/3v(t)		t2

2v'(t)		1	1		1
	+			=
v(t)		3	t		t

2v'(t)		1		1	1
	=		−
v(t)		t		3	t

2v'(t)		2	1
	=
v(t)		3	t

v'(t)		1	1
	=
v(t)		3	t

	1
ln|v(t)|=		ln|t|
	3

v(t)=t^1/3

	1
t2/3v(t)z''(t)+(2t2/3v'(t)+		t−1/3v(t))z'(t)+
	3

	1
(t2/3v''(t)+		t−1/3v'(t)−t2/3v(t))z(t)=0
	3

	2		1
t2/3t1/3z''(t)+(		t2/3t−2/3+		t−1/3t1/3)z'(t)
	3		3

	−2		1		1
+t2/3(		t2/3t−5/3+		t−1/3		t−2/3−t2/3t1/3)z(t)=0
	9		3		3

	1	1
tz''(t)+z'(t)+(−			−t)z(t)=0
	9	t

	1
t2z''(t)+tz'(t)−(t2+		)z(t)=0
	9

a to jest zmodyfikowane równanie Bessela