matematykaszkolna.pl
całeczka kml: Mam problem z taką całką:
 2sinx+3cosx 
∫
dx
 sin2xcosx+2cos3x 
proszę o pomoc emotka
4 mar 12:36
Mickej: rozpijamy na 2 ułamki całki już przed nie daję ale to sobie powstawiaszemotka
2sinx 3cosx 
+
sin2xcosx+2cos3x sin2cosx+2cos3x 
w tej częsci
3cosx 
skracasz cosinusy i po krzyku
sin2cosx+2cos3x 
2sinx 
w tej natomiast zamieniasz
sin2xcosx+2cos3x 
sinx=1−cos2x i podstawiasz t=cosx dt=−sinxdx i po krzykuemotka
4 mar 14:04
MARTUSIA: Na razie buraki, trzymta sie
4 mar 14:09
Mickej: Buraki to są na polu
4 mar 14:14
kml: No właśnie widzę, że robisz podobnie do mnie i właśnie tutaj mam z tym problem:
 3cos dx dx 
∫
dx = 3∫
= 3∫
= ...
 sin2xcosx+2cos3x sin2x+2cos2x cos2x+1 
i właśnie nie wiem co tutaj zrobić Proszę jeszcze raz o pomoc
6 mar 09:46
Basia: no przecież
 1 
(tgx)' =
 1+cos2x 
 1 
∫
dx = tgx
 1+cos2x 
6 mar 10:05
AS:
 dx 
J = 3∫
 1 + cos2x 
 1 − t2 2dt 
Podstawienie: tg(x/2) = t , cosx =
dx =
 1 + t2 1 + t2 
 2t (1−t2)2 
J = 3∫
/{1 +
}dt
 1 + t2 (1+t2)2 
 t (1 + t2)2 
J = 6∫
*
]dt
 1 + t2 1 + 2t2 + t4 + 1 − 2t2 + t4 
 t*(1 + t2) t + t3 
J = 6∫
dt = 3∫
dt =
 2 + 2t4 1 + t4 
 t t3 
J = 3(∫
dt + ∫
dt) = 3*(J1 + J2)
 1 + t4 1 + t4 
 t3 
J2 = ∫
dt
 1 + t4 
Podstawienie: 1 + t4 = u 4t3dt = du t3dt = du/4
 1 du 1 −1 
J2 =
∫
=
=
 4 u4 −12u3 12*(1 + t4)3 
 t 
J1 = ∫
dt
 1 + t4 
Podstawienie: t2 = u 2tdt = du tdt = du/2
 1 du 1 1 
J1 =
∫
=
arctg(u) =
arctgt2
 2 1 + u2 2 2 
Ostatecznie: J = 3*(J1 + J2) + C gdzie t = tg(x/2) Mam nadzieję,że się nie pomylłem w przepisywaniu.
6 mar 11:38
Edek: As nie wiem, czy dobrze myślę, ale czy tam w 3 linijce nie powinno być czasem
 2 (1−t2)2 
J = 3∫
/(1 +
) dt wówczas wychodziło by;
 1+t2 (1+t2)2 
 1+t2 
3∫
dt
 1+t4 
6 mar 12:55
AS: O rety! Edek − masz rację! O jedno t za dużo − niech tylko tego chochlika dopadnę,długo mnie będzie pamiętał. Za chwilę poprawię. Po korekcie
 1 + t2 
J = 3∫
dt
 1 + t4 
6 mar 13:17
AS:
 1 + t2 dt t2 
J = 3∫
dt = 3(∫
+ ∫
dt) = 3*(J1 + J2)
 1 + t4 1 + t4 1 + t4 
 dt 
J1 = ∫
=
 1 + t4 
1 t2+t√2+1 1 t√2 
*ln|
| +
*arctg
4√2 t2−t√2+1 2√2 1−t2 
 t2 
J2 = ∫
dt =
 1 + t4 
 1 t2+t√2+1 1 t√2 
−
*ln|
| +
*arctg
 4√2 t2−t√2+1 2√2 1−t2 
J = 3*(J1 + J2) + C
6 mar 15:33
imię lub nick: dla mnie to by wyglądało w ten sposób:
 2sinx+3cosx 
∫
dx = (przekształcam mianownik)
 sin2xcosx+cos3x 
 2sinx+3cosx sinx 1 
= ∫
dx = 2∫
dx + 3∫
dx =
 cosx(1+2cos2x) cosx(1+2cos2x) 1+2cos2x 
 1 1 
=2∫tgx*
dx + 3∫
dx = (podstawienie za tgx) =
 1+2cos2x 1+2cos2x 
 t2 1 
= 2∫
dt + 3∫
dx = tg2x + 3tgx + C
 2 1+2cos2x 
6 mar 16:50
imię lub nick: aaa już widze błąd:
 1 
∫
dx≠tgx
 1+2cos2x 
6 mar 16:53
imię lub nick: aaa kurr nie chciało mi się przepsywać i kopiowałem tej 2 w mianowniku nie powinno być emotka
6 mar 17:00
kml: yyy... AS a co się stało w twoim ostatnim poście, bo po prostu nie mam żadnego pojęcia
6 mar 17:27
AS: To są wyniki końcowe − nie chciało mi się przepisywać wiele złożonych formuł.
6 mar 17:46
Edek: końcowa postać tej całki wyszła mi taka:
 3√2 
 x 
√2tg(
)−1
 2 
 
−2ln|cosx|+ln|cos2x+1|+
arctg(
)+
 2 2 
 3√2 
 x 
√2tg(
)+1
 2 
 
+
arctg(
) + C
 2 2 
a w odpowiedziach jest:
 2 4 2cosx−1 1 
−
ln|1+cosx|+
ln|cos2x−cosx+1|−8arctg(
)+12arctg(
tgx) + C
 3 3 3 2 
i nie wiem czy robię gdzieś błąd, czy ta całka ma więcej niż jedno rozwiązanie, czy bądź w odp jest źle pochodne wyników nie chcą mi wyjść
7 mar 09:55
AS: Przypuszczam,że błąd tkwi w żle przyjetej pochodnej
 1 1 
(tgx)' =
a nie
 cos2x 1 + cos2x 
7 mar 10:03
AS:
 1 
całkę ∫
rozwiązuję się w następujący sposób.
 1 + x4 
Przekształcam sam ułamek
1 1 1 
=
=
1 + x4 (1 + x2)2 − 2*x2 (1 + x√2 + x2)*(1 − x√2 + x2) 
Ostatni ułamek rozpisuje się na dwa oddzielne ułamki i potem zgodnie z regułami obliczania całki tego typu.
7 mar 10:10
Edek:
 1 
AS wiem, że (tgx)'≠
i to uwzględniłem , tylko właśnie nierozumiem czemu są tak
 1+cos2x 
duże rozbieżności. Postaram się zaraz napisać moje rozwiązanie i jakbyś mógł to prosze o sprawdzenie
7 mar 10:24
Edek:
 2sinx+3cosx 2sinx+3cosx 
∫
dx = ∫
dx =
 sin2xcosx+2cos3x cosx(sin2x+2cos2x) 
 2sinx+3cosx sinx dx 
= ∫
dx = 2∫
dx + 3∫
dx =
 cosx(cos2x+1) cosx(cos2x+1) cos2x+1 
= 2J1+3J2
 sinx 
J1 = ∫
dx =
 cosx(cos2x+1) 
 u 
R(u,v)=
, R(−u,v)=−R(u,v), t=cosx, dt=−sinxdx, sinxdx=−dt
 v(v2+1) 
 −dt 1 t dt t 
= ∫
= −∫(
−
)dt = ∫
+ ∫
dt = −ln|t| +
 t(t2+1) t t2+1 t t2+1 
 1 2t 1 1 
+
∫
dt = −ln|t| +
ln|t2+1| = −ln|cosx| +
ln|cos2x+1|
 2 t2+1 2 2 
 dx 
J2 = ∫
dx =
 cos2x+1 
 x 2dt 1−t2 
t=tg(
), dx=
, cosx=
 2 1+t2 1+t2 
 
2dt 
1+t2 
 t2+1 
= ∫
= ∫
dt =
 
(1−t2)2+(1+t2)2 
(1+t2)2 
 t4+1 
 t2+1 t2+1 
=,∫
dt = ∫
dt =
 (t2+1)2−2t2 (t2−√2t+1)(t2+√2t+1) 
 1 1 
= ∫(
+
) dt =
 2(t2−√2t+1) 2(t2+√2t+1) 
 1 dt 1 dt 
=
∫
+
∫
=
 2 t2−√2t+1 2 t2+√2t+1 
 1 dt 1 dt 
=
∫
+
∫
=
 2 
 √2 1 
(t−
)2+
 2 2 
 2 
 √2 1 
(t+
)2+
 2 2 
 
 1 dt 1 dt 
=
∫
+
∫
=
 4 
 t−( (√2)/2) 
(
)2+1
 √2 
 4 
 t+( (√2)/2) 
(
)2+1
 √2 
 
 
 √2 
t−
 2 
 1 
u1=
, du1=
dt, dt=√2du1
 √2 √2 
 
 √2 
t+
 2 
 1 
u2=
, du2=
dt, dt=√2du2
 √2 √2 
 1 √2du1 1 √2du2 
=
∫
+
∫
=
 4 u12+1 4 u22+1 
 √2 du1 √2 du2 
=
∫
+
∫
=
 4 u12+1 4 u22+1 
 √2 √2 
=
arctgu1 +
arctgu2 =
 4 4 
 √2 √2t−1 √2 √2t+1 
=
arctg(
) +
arctg(
) =
 4 2 4 2 
 √2 
 x 
√2tg(
)−1
 2 
 √2 
 x 
√2tg(
)+1
 2 
 
=
arctg(
) +
arctg(
)
 4 2 4 2 
 2sinx+3cosx 
∫
dx = 2J1+3J2 =
 sin2xcosx+2cos3x 
= −2ln|cosx| + ln|cos2x+1| +
 3√2 
 x 
√2tg(
)−1
 2 
 3√2 
 x 
√2tg(
)+1
 2 
 
+
arctg(
) +
arctg(
) + C
 4 2 4 2 
7 mar 10:59
kris_garg: Witam mogłby mi ktoś pomóc : cosx a) ∫ −−−−−−−−−−−−−−− √9 − sin2x
7 mar 11:07
Edek:
 cosx cosx 
∫
dx = ∫
dx =
 
 sin2x 
√9(1−
 9 
 
 sinx 
3√1−(
)2
 3 
 
 sinx 1 
t=
, dt=
cosxdx, cosxdx=3dt
 3 3 
 1 3dt dt sinx 
=
∫
= ∫
= arcsint = arcsin(
) + C
 3 √1−t2 √1−t2 3 
7 mar 11:12
kris_garg: Dzięki za pomoc, mam problem tez z ta całka ? e ∫ x2lnx 1
7 mar 11:27
kris_garg: Mialem tez macieze do rozwiązania mogłby mi ktos powiedziec czy to jest dobry wynik : a) [12 6] + [0 1 2] * [−2 1 −4]T −1 −2 2 1−3 1 0 2 odp: [5 10] 7 −6 b) macież odwrotna [2 1]−1 −4−3 odp: [3/2 1/2] −2 −1
7 mar 11:35
AS: W a) mój wynik: 5 10 8 −6 w b) wynik poprawny
7 mar 11:53
AS: J = ∫x2*lnxdx Podstawienie: u = lnx dv = x2dx du = dx/x v = x3/3
 x3 x3 dx x3 1 
J = u*v − ∫vdu =
*lnx − ∫
*
=
*lnx −
∫x2dx
 3 3 x 3 3 
 x3 1 x3 x3 1 
J =
*lnx −
*
=
*(lnx −
)
 3 3 3 3 3 
Całka oznaczona
 x3 1 
Jo =
*(lnx −
) |[1,e]
 3 3 
 e3 1 1 1 
Jo = [
*(lne −
] − [
*(ln1 −
] =
 3 3 3 3 
e3 1 1 1 e3 2 1 
*(1 −
) −
*(0 −
) =
*
+
=
3 3 3 3 3 3 9 
 1 
=
*(2*e3 + 1)
 9 
7 mar 12:13
kris_garg: wielkie dzieki emotka
7 mar 12:25