zbiór wartości br: wyznaczyć ZW f(x)=3^{sin x}+3^{cos x} jakaś podpowiedź?

a7: sinx przyjmuje wartości od −1 do 1 podobnie cos x przyjmuje wartości od −1 do 1 np. dla x=0 y=1+3=4 dla x=π/2 y=4 dla x=π/4 y=2*3^U√2{2}}≈4,3491628 i to jest chyba największa wartość (sinus się przecina z cosinusem dla π/4)

	1
dla x=−π/2 y=1/3+1=1
	3

dla x=−π/4 y≈4,5790

a7: https://www.wolframalpha.com/input/?i=3%5E%28sin%28x%29%29%2B3%5E%28cos%28x%29%29%3D

RysiO: f(x)=3^sinx+3^cosx Z nierówności Cauchy'ego pomiędzy średnimi − arytmetyczną, a geometryczną:

3sinx+3cosx
	≥ √3sinx * 3cosx
2

3^sinx+3^cosx ≥ 2√3^sinx+cosx 3^sinx+3^cosx ≥ 2 * 3^{0,5(sinx+cosx)} Teraz zauważmy, że:

	π
sinx+cosx=√2sin(x+		)
	4

Ponieważ −1 ≤ sinx ≤ 1, to −√2 ≤ sinx+cosx ≤ √2 Zatem gdy sinx+cosx=−√2, to: 3^sinx+3^cosx ≥ 2 * 3^−1/√2 Ponadto równość zachodzi, gdy:

	π
3sinx=3cosx ⇔ sinx=cosx ⇒ x=kπ+
	4

	5π
Nietrudno zauważyć, że f(		)=2 * 3−1/√2, czyli dla tego argumentu wartość funkcji
	4

jest najmniejsza. Teraz zobaczmy, że f(x)=f(x+2π) ⇒ T=2π. Stąd szybko mamy największą wartość funkcji f, która jest równa:

	π
f(		)=2 * 31/√2
	4

Zatem zbiorem wartości funkcji jest przedział: < 2 * 3^−1/√2, 2 * 3^1/√2>

wredulus_pospolitus: przyczepię się do rozwiązania RysiQ −−− to, że wykazałeś okresowość nie oznacza, że wiesz jak zachowuje się funkcja w trakcie jednego okresu i że największa wartość faktycznie jest dla x =

	π
	4

To jest puki co jedynie przypuszczenie.

póki co:

a7: poprawiam dla x=−π/4 y≈2,644 (nie 4,5790) https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F%283%5E%28%282%29%5E%281%2F2%29%2F%282%29%29%29%2B%283%5E%28%282%29%5E%281%2F2%29%2F%282%29%29%29%3D