nierówność Dawid: Wykaż że 2^1−1/√2 ≤ 2^sin(x)+2^cos(x) ≤ 2^1+1/√2 dla x∊[0;2π].

RysiO: Można z ekstremów albo też z nierówności pomiędzy średnimi − arytmetyczną, a geometryczną.

Dawid: Możesz pokazać jednym ze sposobów

RysiO: Dla lewej strony: Z zależności pomiędzy średnią arytmetyczną, a geometryczną mamy:

2sinx+2cosx
	≥ √2sinx*2cosx
2

2^sinx+2^cosx ≥ 2√2^sinx+cosx 2^sinx+2^cosx ≥ 2*2^{0,5(sinx+cosx)} 2^sinx+2^cosx ≥ 2^{1+0,5(sinx+cosx)} Teraz zastanówmy się, jakie wartości moje przyjmować wyrażenie sinx+cosx:

	π		π		π		π
sinx+cosx=sinx+sin(		−x)=2sin		*cos(x−		)=√2cos(x−		)
	2		4		4		4

Ponieważ −1 ≤ cosx ≤ 1, to −√2 ≤ sinx+cosx ≤ √2 Zatem gdy sinx+cosx=−√2 to 2^sinx+2^cosx ≥ 2^1−√2/2, czyli: 2^sinx+2^cosx ≥ 2^1−1/√2

RysiO: Dla prawej strony można tak:

	π
Z powyższego równość zachodzi, gdy 2sinx=2cosx ⇔ sinx=cosx ⇒ x=kπ+		.
	4

	5π
Łatwo zauważyć, że dla x=		wyrażenie 2sinx+2cosx przyjmuje wartość najmniejszą,
	4

czyli 2^1−1/√2. Teraz zobaczmy, że okres funkcji f(x)=2^sinx+2^cosx wynosi T=2π. Zatem skoro funkcja

	5π		π
przyjmuje minimum dla x=		+2kπ, to maksimum będzie przyjmować dla x=		+2kπ.
	4		4

Maksimum to wynosi:

	π
f(		)=21+1/√2
	4

co oznacza, że: 2^sinx+2^cosx ≤ 2^1+1/√2