kąty miska: Wykaż że AB=DC. To są kąty w stopniach.

a7: AB=x AD=BD=a DC=y BC=d AC=z ∡ACD=α ∡BCD=36−α 1.x=2asin72 2.d=ztg27 3.z tw cosinusów dla ΔABC (odcinki d i z)

	(1−tg227)*cos27
x=z
	cos54

	cos27(1−tg227)
4.z porównania (1) i (3) ⇒a=2z		(nie wiem czy dobrze przekształciłam,
	√5

obliczył mi wolfram) https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%281-tg%5E2%2827%29%29*cos27%29%2F%28cos%2854%29%29%3D2*x*cos%2818%29 5.z tw sinusów dla ΔBCD

y		a
	=
sin99		sin(36−α)

i tu już coś powinno wyjść, to znaczy jaki jest y, ale mi się w obliczeniach nie upraszcza − może to jednak będzie dobry początek

y
	=.......
cos9

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28y%29%2F%28cos%289%29%29%3D%5B%28%282*z*cos%2827%29*%281-tg%5E2%2827%29%29%29++%29%2F%28%28%28sin%2836%29*%28y%5E2-4z%5E2*cos%5E2%2827%29*%281-tg%5E2%2827%29%29%5E2*sin%5E2%289%29%29%5E%281%2F2%29%29%29-%28%282*cos%2836%29*z*cos%2827%29*%281-tg%5E2%2827%29%29%29*sin%289%29%29%29%5D

a7: widzę już, że xle wpisałam do Wolframa.., ale już może jutro do tego wrócę, tj dzisiaj, ale później

a7: AB=x AD=BD=a DC=y BC=d AC=z ∡ACD=α ∡BCD=36−α 1.x=2asin72 2. h_z=asin9

	hz		asin9		√y2−asin9
3. sinα=		=		czyli cosα=
	y		y		y

4. z tw. sinusów dla ΔBCD

a		y
	=
sin(36−α)		sin99

no i nijak nie wychodzi y=2asin72 ...

an: Nie rozumiem Cię a7, dlaczego dlaczego mając jak tu podane tylko kąty i korzystasz z trygonometrii, nie przyjmiesz sobie, że np. |AB|=2[jednostki], dzięki temu w tym zadaniu możesz dokładnie zwymiarować dla tej jednostki trójkąt ABC i ABD i wtedy liczyć CD.

Mila: A7 Tak jak u Ciebie− trygonometria. 1) W ΔADB:

1		e
	=
sin144		sin18

	1
e=
	2cos18

2) ΔABE:

1		BE
	=
sin135		sin27

|BE|=√2sin(27) 3) ΔEBC:

a		BE
	=
sin45		sin36

	sin27
a=
	sin36

4)ΔBCD: x²=a²+e²+2*a*e sin9 i teraz "akrobacja" x=1 to pokazuje Wolfram Będę szukać innego sposobu.

a7: ciekawe skąd to zadanie, tj. z jakiego poziomu czy liceum/technikum czy kółko dla olimpijczyków ?

a7:

Mariusz: Te wartości funkcyj trygonometrycznych można obliczyć sin(5α)=sin(α+4α) =sin(α)cos(4α)+cos(α)sin(4α) =sin(α)(1−8sin²(α)(1−sin²(α)))+cos(α)2sin(2α)cos(2α) =sin(α)(1−8sin²(α)+8sin⁴(α)))+4sin(α)cos²(α)(1−2sin²(α)) =sin(α)(1−8sin²(α)+8sin⁴(α)))+4sin(α)(1−sin²(α))(1−2sin²(α)) =8sin⁵(α)−8sin³(α)+sin(α) + 4sin(α)(1−2sin²(α)−sin²(α)+2sin⁴(α)) =8sin⁵(α)−8sin³(α)+sin(α)+4sin(α)(1−3sin²(α)+2sin⁴(α)) =8sin⁵(α)−8sin³(α)+sin(α)+8sin⁵(α)−12sin³(α)+4sin(α) =16sin⁵(α)−20sin³(α)+5sin(α) 16sin⁵(α)−20sin³(α)+5sin(α)=1 16t⁵−20t³+5t−1=0 t=1 16−20+5−1=21−21=0 16 0 −20 0 5 −1 1 16 16 −4 −4 1 0 16t⁵−20t³+5t−1 = (t−1)(16t⁴+16t³−4t²−4t+1) 16t⁴+16t³−4t²−4t+1=0 (16t⁴+16t³)−(4t²+4t−1)=0 (16t⁴+16t³+4t²)−(8t²+4t−1)=0 (4t²+2t)² − (8t²+4t−1)=0

	y		y2
(4t2+2t+		)2 − ((4y+8)t2+(2y+4)t+		−1)=0
	2		4

	y2
4(		−1)(4y+8)−(2y+4)2=0
	4

(y²−4)(4y+8)−(4y+8)(y+2)=0 (4y+8)(y²+y−2)=0 y = −2 (4t²+2t − 1)² = 0 4t²+2t − 1 = 0

	−2±√4−4(−1)(4)
t =
	8

	−2±√20
t =
	8

	−2±2√5
t =
	8

	−1±√5
t =
	4

Ujemne rozwiązanie tego równania kwadratowego odrzucamy i otrzymujemy że

	√5 − 1
sin(18) =
	4

cos²(18) = 1−sin²(18)

	16−(6−2√5)
cos2(18) =
	16

	10+2√5
cos2(18) =
	16

	√5 − 1
sin(18) =
	4

	√10+2√5
cos(18) =
	4

sin(27) = sin(45−18)

	2√5+√5+√2−√10
sin(27) =
	8

cos(36) = (1−2sin²(18))

	6−2√5
cos(36) = (1−		)
	8

	8−6+2√5
cos(36) = (		)
	8

	2+2√5
cos(36) =
	8

	√5+1
cos(36) =
	4

	6+2√5
sin2(36) = 1 −
	16

	16−6−2√5
sin2(36) =
	16

	10−2√5
sin2(36) =
	16

	√5+1
cos(36) =
	4

	√10−2√5
sin(36) =
	4

	√2		√10−2√5		√5+1
sin(9) = sin(45 − 36) =		(−		+		)
	2		4		4

	√10+√2−2√5−√5
sin(9) =
	8

Przydałoby się napisać że korzystasz z twierdzenia sinusów a na końcu z twierdzenia cosinusów Z rysunku też nie widać dlaczego kąt ∡DEC = 45

a7: kąt DEC jest równy 45, gdyż jego kąt przyległy AEB jest równy 135 (reszta kątów ΔAEB jest znana czyli AEB∡=180−18−9−18=135^o)

Mariusz: a7 tak zgadza się Po prostu nie patrzyłem na trójkąt AEB w którym dwa kąty są dane a trzeci można otrzymać z tego że na płaszczyźnie suma kątów w trójkącie jest równa 180^o

Mariusz: Swoją drogą to ciekawe czemu w podstawie programowej nie ma trygonometrii sferycznej przecież już wykazano że Ziemia jest geoidą która kształtem jest zbliżona do elipsoidy obrotowej spłaszczonej i teraz tylko świry wierzą w płaskość Ziemi

Mila: Mariusz , ja to krócej mam obliczone. Bardzo się napracowałeś. Sprowadziłam poszczególne funkcje do wartości (odpowiednio ) sinusów i cosinusów kątów 18^o i 36^o. Nie piszę rozwiązania bo autor nie jest zainteresowany. Pozdrawiam

miska: Jestem, to zadanie podobno można rozwiązać bez trygonometrii. Przez dorysowywanie odcinków it... Mam jeszcze parę takich, zaraz jedno wrzucę.