całka z pierwiastkiem Mon: Policz całkę:

	2−x
∫x*√(		) dx
	x−3

podstawienie:

	2−x
t2=
	x−3

	2+3t2
x=
	1+t2

	2t dt
dx=
	(1+t2)2

Po podstawieniu:

	(2+3t2)(2t2)
∫		dt
	(1+t2)3

i nie wiem co dalej zrobić

Mariusz:

	(2+3t2)(2t2)		a3t3+a2t2+a1t+a0
∫		dt = ∫		+
	(1+t2)3		(1+t2)2

	b1t+b0
∫		dt
	1+t2

(2+3t2)(2t2)		(3a3t2+2a2t+a1)(1+t2)2
	=
(1+t2)3		(1+t2)4

	4t(a3t3+a2t2+a1t+a0)(1+t2)		b1t+b0
−		+
	(1+t2)4		1+t2

(2+3t2)(2t2)		(3a3t2+2a2t+a1)(1+t2)
	=
(1+t2)3		(1+t2)3

	4t(a3t3+a2t2+a1t+a0)		(b1t+b0)(1+t2)2
−		+
	(1+t2)3		(1+t2)3

6t⁴+4t² = (3a₃t²+2a₂t+a₁)(1+t²)−4(a₃t⁴+a₂t³+a₁t²+a₀t) +(b₁t+b₀)(1+2t²+t⁴)

Mariusz: 3a₃t⁴+2a₂t³+a₁t²+3a₃t²+2a₂t+a₁ − 4a₃t⁴ − 4a₂t³ − 4a₁t² − 4a₀t +(b₁t⁵+2b₁t³+b₁t+b₀t⁴+2b₀t²+b₀) = 6t⁴+4t² 6t⁴+4t²=b₁t⁵+(b₀−a₃)t⁴+(2b₁−2a₂)t³+(2b₀+3a₃−3a₁)t² +(b₁+2a₂−4a₀)t+b₀+a₁ b₁=0 b₀−a₃=6 2b₁−2a₂=0 2b₀+3a₃−3a₁=4 b₁+2a₂−4a₀=0 b₀+a₁=0 b₁=0 a₂=0 a₀=0 b₀=−a₁ −a₃−a₁=6 3a₃−5a₁=4 b₁=0 a₂=0 a₀=0 b₀=−a₁ −3a₃−3a₁=18 3a₃−5a₁=4 4a₁=−11 a₃= −6 − a₁ b₁=0

	11
b0=
	4

	13
a3=−
	4

a₂=0

	11
a1=−
	4

a₀=0

	6t4+4t2		1		13t3+11t		11		1
∫		dt = −		*		+		∫		dt
	(1+t2)3		4		(1+t2)2		4		1+t2

	6t4+4t2		1		13t3+11t		11
∫		dt = −		*		+		arctg(t)+C
	(1+t2)3		4		(1+t2)2		4

Mariusz:

	1
Jeżeli już wcześniej wyprowadziliśmy wzór redukcyjny na całkę ∫		dx
	(1+x2)n

To licznik można by było rozpisać ze wzoru skróconego mnożenia

	6t4+4t2		6((t2+1)−1)2+4((t2+1)−1)
∫		dt = ∫		dt
	(1+t2)3		(1+t2)3

	6t4+4t2		6(t2+1)2−12(t2+1)+6+4(t2+1)−4
∫		dt =∫		dt
	(1+t2)3		(1+t2)3

	6t4+4t2		6(t2+1)2−8(t2+1)+2
∫		dt =∫		dt
	(1+t2)3		(1+t2)3

	6t4+4t2		1		1		1
∫		dt =6∫		dt−8∫		dt+2∫		dt
	(1+t2)3		1+t2		(1+t2)2		(1+t2)3

Teraz stosowanie wzoru redukcyjnego zaczynasz od całki w której stopień mianownika funkcji podcałkowej jest największy Teraz zanim przystąpisz do kolejnej redukcji dodajesz te całki które różnią się tylko stałym czynnikiem ( pozwala na to liniowość całki )

Mon: Dlaczego Mariusz rozdziela całkę na sumę całek w pierwszej linijce? Dlaczego akurat na takie te ułamki?

Mariusz: W pierwszej linijce masz napisane jak skorzystać z wzoru skróconego mnożenia aby po rozbiciu na sumę całek licznik skrócił się z mianownikiem i możliwe było zastosowanie wzoru redukcyjnego Jeżeli chcesz sobie poczytać to w sieci masz dostępne takie pliki pdf Książka elektroniczna Kazimierza Kuratowskiego (rozdział dotyczący całkowania) http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon15/mon1504.pdf Książka elektroniczna Stefana Banacha (tom 2 dotyczący rachunku całkowego) http://kielich.amu.edu.pl/Stefan_Banach/pdf/rachunek2.pdf Po podręczniki takie jak F Leja Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych czy G.M Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy oraz zbiory zadań takie jak W Krysicki L Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach lepiej iść do biblioteki

Mariusz: A jeśli chodzi o tę pierwszą metodę to masz racje tam jest błąd Nie powinno być w tym pierwszym składniku znaku całki zamiast tego całkę powinniśmy zapisać w postaci sumy funkcji wymiernej i całki w której mianownik funkcji podcałkowej nie zawiera już pierwiastków wielokrotnych

	2t2(2+3t2)		a3t3+a2t2+a1t+a0
∫		dt =		+
	(1+t2)3		(1+t2)2

	b1t+b0
∫		dt
	1+t2