układ Zosia: Rozwiąż układ równań (x+y)(x²+14xy+y²)=36 (3x+y)(x+3y)√xy=14

Mila: Podpowiedź: 1) (x+y)*[(x+y)²−2xy+14xy]=36 (3x²+3y²+10xy)√xy=14 [3*(x+y)²−3*2xy+10xy]√xy=14 2) x+y=t, xy=s, s>0 t*(t²+12s)=36 (3t²+4s) √s=14

Mila: Spróbuj znaleźć rozwiązanie pierwszego równania t*(t²+12s )=36 dla t całkowitego , podzielnego przez 3 i s>0

mat: tak jak napisała Mila, tyle że ja bym przyjął s = √xy i wtedy t³ + 12ts² = 36 3t²s + 4s³ = 14 teraz zauważ, że (t+2s)³ = t³ + 6t²s+12ts²+8s³ = t³ + 12ts² + 2(3t²s+4s³) = 36+2*14 = 64 a stąd t+2s = 4 Z kolei (t−2s)³ = t³ − 6t²s+12ts²−8s³ = t³ + 12ts² + 2(3t²s+4s³) = 36−2*14 = 8 a stąd t−2s = 2 A zatem t+2s = 4, t−2s = 2. Dodając stronami mamy 2t = 6 a zatem t = 3 To oznacza, że s = 1/2 czyli: x+y = 3 √xy = 1/2 i teraz już łatwo (wyliczamy y z pierwszego równania i do drugiego, podnosimy do kwadratu...)

Mila: