Całka Mon: Jak najprościej obliczyć taką całkę?

	1
∫		dx
	(1+x2)2

www: https://www.youtube.com/watch?v=-tPYjXeyVfQ

Mariusz: Ta najprościej zwłaszcza że całkowanie funkcyj trygonometrycznych jest wprowadzane później Sposób 1. Użycie redukcji Zapisujesz licznik jako 1=1+x²−x² a następnie rozbijasz całkę na sumę dwóch całek w jednej licznik skróci się z mianownikiem a drugą można dość łatwo policzyć przez części

	1		1+x2		x2
∫		dx=∫		dx − ∫		dx
	(1+x2)2		(1+x2)2		(1+x2)2

	1		1		x		(−2x)
∫		dx=∫		dx+∫		*		dx
	(1+x2)2		1+x2		2		(1+x2)2

	x		(−2x)
∫		*		dx
	2		(1+x2)2

	x		(−2x)
u =		dv =		dx
	2		(1+x2)2

	1		1
du =		dx v =
	2		1+x2

x

(−2x)

1

x

1

1

∫

*

dx=

*

−

∫

dx

2

(1+x2)2

2

1+x2

2

1+x2

1

1

1

x

1

1

∫

dx=∫

dx+

*

−

∫

dx

(1+x2)2

1+x2

2

1+x2

2

1+x2

	1		1		x		1		1
∫		dx=		*		+		∫		dx
	(1+x2)2		2		1+x2		2		1+x2

	1		1		x		1
∫		dx=		*		+		arctg(x)+C
	(1+x2)2		2		1+x2		2

Sposób 2. Wydzielenie części wymiernej całki W całce z funkcji wymiernej właściwej (stopień licznika mniejszy od stopnia mianownika) gdzie mianownik posiada pierwiastki wielokrotne (rzeczywiste bądź zespolone)

	L(x)		L1(x)		L2(x)
∫		dx =		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

M₂(x) ma te same pierwiastki co M(x) tyle że pojedyncze M₁(x) ma te same pierwiastki co M(x) tyle że w krotności o jeden mniejszej (zachodzi równość M(x)=M₁(x)M₂(x)) Zakładamy że stopień licznika jest mniejszy niż stopień odpowiadającego mu mianownika, za współczynniki przy kolejnych potęgach liczników przyjmujemy współczynniki literowe i różniczkujemy równość

	L(x)		L1(x)		L2(x)
∫		dx =		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

aby te współczynniki obliczyć

	1		Ax+B		Cx+D
∫		dx=		+∫		dx
	(1+x2)2		1+x2		1+x2

1		A(1+x2)−2x(Ax+B)		Cx+D
	=		+
(1+x2)2		(1+x2)2		1+x2

1		A+Ax2−2Ax2−2Bx+(Cx+D)(1+x2)
	=
(1+x2)2		(1+x2)2

1=Cx+Cx³+D+Dx²+A+Ax²−2Ax²−2Bx 1=Cx³+(D−A)x²+(C−2B)x+A+D C = 0 D−A = 0 C−2B = 0 A+D = 1 C = 0 B = 0 A=D 2D = 1 C = 0 B = 0

	1
A=
	2

	1
D =
	2

zatem

	1		Ax+B		Cx+D
∫		dx=		+∫		dx
	(1+x2)2		1+x2		1+x2

	1		1		x		1		1
∫		dx=		*		+		∫		dx
	(1+x2)2		2		1+x2		2		1+x2

	1		1		x		1
∫		dx=		*		+		arctg(x)+C
	(1+x2)2		2		1+x2		2