pola Anulla352: Na rysunku AB=BC=CD, DE=EF=FG, GH=HI=IJ i JK=KL=LA. Jeśli pola I, II, VI i VII wynoszą 10,11,18 i odpowiednio 14, oblicz pola III, IV, V, VIII i IX. https://foto-hosting.pl/img/e1/50/4d/e1504d0d9954e59732f3cd73ae74bbfda9331f5c.jpeg

ite: skorzystaj z tego, że pole każdego czworokąta jest średnią arytmetyczną pól sąsiednich czworokątów

	1
np. PII+V+VIII=		(PI+IV+VII+ PIII+VI+IX)
	2

https://prnt.sc/1m8zret

Anulla352: Też mi się tak wydawało, ale te odcinki wewnętrzne nie są podzielone na trzy równe części.

ite: Dzielą się na trzy równe części, można to wykazać z podobieństwa trójkątów i od tego należy zacząć rozwiązywanie.

Anulla352: A jak pokazać że np LE jest podzielone na trzy równe części?

ite: Mam tylko chwilę czasu, więc podam jedynie schemat rozwiązania. ΔGHF∼ΔDJG (bkb) w skali 1:3 ΔDJA∼ΔAKC (bkb) w skali 3:2 ⇒ CK ∥ DJ ∥ HF przez S oznaczam punkt wspólny pól V, VIII, VI i IX ΔSHF∼ΔAKC (kkk) w skali 1:2 ⇒ |KS| = 2|SF| czyli odcinek KF jest podzielony na trzy równe części.

Anulla352: Jak rysuję to w układzie współrzednych to mi nie wychodzi żeby były równe

a7: chyba nie bkb tylko kkk?

ite: |HG|= 1/3 *|JG| |DG|= 1/3 *|FG| <DGJ kat wspólny więc zastosowałam bkb dla ΔGHF∼ΔDJG

a7: już rozumiem

Anulla352: A ktoś może to w jakimś programie narysować bo tego nie widzę

a7: ja widzę podobieństwo niektórych trójkątów, ale tego podziału LE na trzy równe części też jeszcze nie widzę..

ite: bβ

ite: A7 do wykazania podziału LE na trzy równe części zacznij od pokazania że ΔGEI∼ΔDJG (bkb) w skali 2:3 ΔDJA∼ΔALB (bkb) w skali 3:1

ite: Dla odcinka LE trzeba wykorzystać trójkąty, których wierzchołkami są punkty należące do odcinka LE. Tak samo jak do pokazania podziału odcinka KF wykorzystane zostały trójkąty o wierzchołkach należących do tego odcinka .

ite: Anulla352 wydaje mi się, że rysowanie w programie graficznym nie ma sensu. Jeśli dowód, który naszkicowałam, jest poprawny, to nie można mieć wątpliwości, czy odcinki są równe (bo taki jest cel dowodzenia → mieć pewność).

a7: 22:34 to rozumiem, ale nie rozumiem dlaczego SHF podobny do AKC, nawet gołym okiem widać, że kąt HSF jest ostry , a kąt KAC rozwarty

a7: przepraszam , rozumiem 22:28, 22:34 już mniej

ite: bo o 15:14 źle zapisałam i nie zauważyłam tego! w drugiej linijce od dołu powinno być ΔSHF∼ΔSKC (kkk) w skali 1:2 to mają być trójkąty o kątach wierzchołkowych i dłuższych bokach równoległych

a7: ok, teraz to rozumiem, zaraz się dalej zastanowię

a7: już rozumiem, że |LT|=2|TE|, ale jeszcze nie wiem skąd wiadomo, że |TW|=|WE|

ite: chochlik wskoczył 2|LT|=|TE| tym razem ΔCDE∼ΔAGD (bkb) w skali 1:3 ΔAGJ∼ΔLJH (bkb) w skali 3:2 itd. na koniec 2|WE|=|LW| z dwóch zależności

⎧	2|WE|=|LW|
⎩	2|LT|=|TE|

wynika że |TW|=|WE|

a7: uffff, dobra rozumiem już i to, teraz jestem ciekawa skąd wynika, że możemy wyciągać średnią arytmetyczną sąsiadujących czworokątów

a7: @Anulla352 ja już rozumiem skąd się wziął podział Le na trzy równe części także jeśli masz jakieś wątpliwości to chętnie wytłumaczę, natomiast z tego, co napisałaś 14:25 Ty rozumiesz czemu wtedy można wyciągać średnią arytmetyczną z sąsiednich czworokątów, jeśli możesz to daj znać lub @ite daj znać bo zaciekawiło mnie to zadanie

ite: Zasada dla sąsiednich czworokątów jest zawsze taka: rozpatruję ΔJBI, ΔICH, ΔHDG h₁+x = h₂ h₂+x = h₃ więc 2*h₂ = h₁+ h₃ (*) . Podstawy trójkątów są równe i wynoszą a, mnożę (*) stronami przez 1/2*a, otrzymując pola trójkątów

	PJBI + PHDG
2*PICH = PJBI + PHDG ⇒ PICH =
	2

Takie samo rozumowanie przeprowadzam dla trójkątów o bokach równych b − ΔJBA, ΔICB, ΔHDC, po zsumowaniu pól trójkątów otrzymuję pola czworokątów. Pole środkowej figury jest średnią arytmetyczną pól sąsiednich figur.

a7: Dziękuję bardzo!

ite: geometria jest taka kobieca (czyli pełna wdzięku )

www: https://math.stackexchange.com/questions/1434900/ratio-of-area-of-quadrilaterals

ite: W linku jest napisane: the inner lines are NOT trisected. Ja w swoim dowodzie podziału na równe części wewnętrznych odcinków nie znalazłam błędu. Ale może ktoś taki błąd widzi?

a7: ja też jeszcze raz nad tym myślałam (tym podziałem na trzy równe części np. odcinka |LE|) i też błędu nie znalazłam,

ite: to się cieszę...

a7: w linku jest napisane, że program komputerowy nie umiał tego policzyć, może jednak by się udało to sprawdzić, nie wiem czy geogebra ma takie możliwości, ale jak widzieliśmy na innym zadaniu (z podziałem na cztery równe kąty wierzchołka trójkąta prze wysokość, dwusieczną i środkową ) na zagranicznych forach też nie zawsze sa najbardziej nazwijmy to błyskotliwe rozwiązania, być może więc również się czasem mylą choćby byli nie wiem jak biegli i zaawansowani )

a7: 23:08 23:12 może jeszcze raz przestudiujmy z nastawieniem na szukanie błędu?

ite: jutro jeszcze raz sprawdzę, ale najtrudniej jest zobaczyć własny błąd

a7: dobra ja spróbuję się rozpisać , tak, jak zrozumiałam i może Ty znajdziesz mój błąd : )

a7: rys. z 10. sierpnia 22:25 z tw. odwrotnego do tw. Talesa (tudzież z podobieństwa trójkatów jak tłumaczylaś) wynika, że proste LB || KC || JD || EI || HF oraz analogicznie CE || BF || AG || LH || KI LB=x=HF KC=2x=EI JD=3x (wspólna) CE=y=Ki BF=2y=LH AG=3y ΔLTB~ΔTEi w skali 1:2 dlatego 2LT=TE ΔCEW~ΔLWH w skali 1:2 dlatego 2WE=WL teraz mamy dwa równania LT+LT=TE WE+WE=WL czyli LT+LT=TW+WE WE+WE=LT+TW odejmujemy stronami 2LT−2WE=TW−TW+WE−LT TW się redukuje i zostaje 3LT=3WE ⇒ LT=WE

a7: 11.08 10:26 zastanawiam się czy na pewno x=x w tym sensie czy Δx jest jakby ta sama − no, ale tak gdyż wynika to z tw. Talesa dla odpowiednich trójkątów − znowu nie widzę błędu hmm.

ite: ja też nadal uważam dowód za poprawny

a7: no i tego się trzymajmy, możemy przetłumaczyć ten dowód o go tam ew. zamieścić, ale nie wiem czy to konieczne...

a7: jakby co, to mogę spróbować zrobić szkic takiego tłumaczenia (do doszlifowania)

a7: jednak to rozkminili https://math.stackexchange.com/questions/465986/trisect-a-quadrilateral-into-a-9-grid-the-middle-has-1-9-the-area

a7: dziwna zbieżność dat... (?)

ite: 12 sierpnia powtarza się co roku, więc to zwykła zbieżność dat w rozwiązaniach.