równanie kiper: Wyznacz x i y z równania √(xy+x+y)²+xy+x+y+7=√x²y²−xy+1+√y²+y+1+√x²+x+1

kiper: Jak znaleźć (x,y) aby zachodziła równość?

MilEta: z czego to zadanie? (jaki poziom)

kiper: To zadanie z liceum

MilEta: najpierw bym przeniosła jeden pierwiastek na lewo i potem do kwadratu obie strony (i wzory skroconego mnozenia) ale ciezko ocenic czy sie jakos ładniej uprosci. Byc moze trzeab bedzie potem kolejny raz Spróbuj cos podzialac tutaj to zobaczymy co dalej

kiper: Który na lewo?

a7: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%9A%28%28xy%2Bx%2By%29%5E2%2Bxy%2Bx%2By%2B7%29%3D%E2%88%9A%28x%5E2y%5E2%E2%88%92xy%2B1%29%2B%E2%88%9A%28y%5E2%2By%2B1%29%2B%E2%88%9A%28x%5E2%2Bx%2B1%29

MilEta: ten z x²y²

a7: ponieważ jest to zadanie z liceum to chyba najpierw wyciągamy wniosek, że skoro jest jedno równanie i dwie niewiadome to x=y (w Wolframie się zgadza) √(y²+2y)²+y²+2y+7=√y⁴−y²+1+2√y²+y+1) podnosimy obie strony do kwadratu y⁴+4y³+4y²+y²+2y+7=y⁴−y²+1+4(y²+y+1)+4√(y⁴−y²+1)(y²+y+1) 4y³+2y²−2y+2=4√(y⁶+y⁵−y³+y+1 znowu podnosimy obie strony do kwadratu 16y⁶+16y⁵−12y⁴+8y³+12y²−8y+4=16y⁶+16y⁵−16y³+16y+16 −12y⁴+24y³+12y²−24y−12=0 |:(−12) y⁴−2y³−y²+2y+1=0 teraz trzeba to jakoś rozwiązać...

a7: https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%5E4-2y%5E3-y%5E2%2B2y%2B1%3D0

a7: (y²−y−1)²=0 y²−y−1=0 Δ=5 √Δ=√5

	1±√5
y=
	2

mat: ponieważ jest to zadanie z liceum to chyba najpierw wyciągamy wniosek, że skoro jest jedno równanie i dwie niewiadome to x=y śmiałe stwierdzenie a7 Równanie jest symetryczne ze wzgledu na zmienne x i y, to pomaga...

Mariusz: y⁴−2y³−y²+2y+1=0 Jeśli chcesz rozwiązać powyższe równanie bez Wolframa to poczytaj np tutaj http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf y⁴−2y³−y²+2y+1=0 (y⁴−2y³)−(y²−2y−1)=0 (y⁴−2y³+y²)−(2y²−2y−1)=0 (y²−y)²−(2y²−2y−1)=0

	z		z2
(y2−y+		)2−((2+z)y2+(−2−z)y+		−1)
	2		4

	z2
4(		−1)(z+2)−(z+2)2=0
	4

(z²−4)(z+2)−(z+2)²=0 (z+2)(z²−z−6)=0 z=−2 (y²−y−1)²=0

Mariusz: a jeszcze jedno obustronne podnoszenie do kwadratu może dawać pierwiastki obce

a7: cieszę się, że dyskusja się ożywiła, ale nie rozumiem @mat co to znaczy, że "równanie jest symetryczne..." dlaczego to pomaga można prosić łopatologicznie?

mat: bo jeżeli (x,y) jest rozwiazaniem to (y,x) tez (z definicji)

mat: nie wyciągąłbym jednak z tego szybko wniosku ze x=y bo np takie równanie x²+y² = x³+y³ − 66 ma calkowite rozwiazania x=3, y=4 oraz x=4 i y=3

a7: dobra, to nadal nie rozumiem jak należy to poprawnie rozwiązać...

a7: dobra chyba się doczytałam, chodzi o to, że jak zamienimy ze sobą x i y to otrzymamy to samo równanie dlatego można obliczać dla x=y (? ? ?)

mat: no nie wlasnie z symetrii równania jeszcze nie wynika ze x=y (jak o 21:21)

a7: no dobra, to jak to rozwiązać?

a7: może jakieś sprytne podstawienie?

Mariusz: "dobra chyba się doczytałam, chodzi o to, że jak zamienimy ze sobą x i y to otrzymamy to samo równanie" No właśnie na tym polega symetria

a7: rozumiem już, że na tym polega symetria, nie rozumiem jednak nadal jak poprawie rozwiązać to równanie

Mariusz:

	u+v
x=
	u

	u−v
y=
	u

u2+2uv+v2		u2−2uv+v2		u3+3u2v+3uv2+v3
	+		=		+
u2		u2		u3

u3−3u2v+3uv2−v3
	−66
u3

	u2+v2		2u3+6uv2
2		=		−66
	u2		u3

	v2		v2
2+2		=2+6		−66
	u2		u2

	v2		v2
2		−6		=−66
	u2		u2

	v2
−4		=−66
	u2

	v2
2		=33
	u2

Mariusz: Oj to raczej nic nie da 4xy=(x+y)²−(x+y)²

	1		3
(x+y)2−		((x+y)2−(x+y)2)=(x+y)2−		((x+y)2−(x−y)2)(x+y)−66
	2		4

Może coś w ten sposób