trygonometria Anton21: Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych k≤100 dla których istnieje rozwiązanie równania sin(k*x)=sin(x) dla 0≤x≤π/2.

wredulus_pospolitus: powyższe równanie będzie spełnione dla DOWOLNEGO 'x' z zadanego przedziału jedynie gdy k = 2j ; j ∊ Z ... jako że rozpatrujemy tylko naturalne, to k = 2j ; j ∊ N

Anton21: Czyli jak policzyć te sumę?

wredulus_pospolitus: zsumować wszystkie liczby PARZYSTE które są w przedziale

Anton21: Czyli 2+4+6+...+100?

wredulus_pospolitus: tak

wredulus_pospolitus: chociaż czekaj ... głupotę napisałem

wredulus_pospolitus: ta równość NA PEWNO tak dokładnie wygląda i ona ma mieć rozwiązanie dla DOWOLNEGO x czy dla 'jakiegoś' x

Anton21: Taka jest treść

wredulus_pospolitus: no to jeżeli zinterpretujemy to w ten sposób: zliczamy wszystkie 'k' dla których istnieje przynajmniej jedno rozwiązanie równania sin(kx) = sinx dla 0≤x≤^π/₂ to wtedy sumujemy wszystkie 'k' ... bo dla DOWOLNEGO k zachodzi równość dla x=0: sin(k*0) = sin(0)

Anton1: ja rozumiem tak, sprawdzamy czy jest choć jedno rozwiąznie sin(1*x)=sin(x) w przedziale 0≤x≤π/2 sin(2*x)=sin(x) w przedziale 0≤x≤π/2 . . . sin(100*x)=sin(x) w przedziale 0≤x≤π/2 i wtedy dodajemy 1+2+...100 ewntualne

wredulus_pospolitus: no to mówię ... dla x=0 każde k wchodzi w grę

wredulus_pospolitus: czyli dla każdego k będzie chociaż jedno rozwiązanie ... którym jest x=0

Anton1: A co by się działo, tylko tak pytam jak by był błąd w zadaniu i był przedział 0<x≤π/2?

wredulus_pospolitus:

	π
kolejny kandydat dający dużo rozwiązań byłby x =		gdyż sin(π/2) = 1
	2

	π		(4n+1)π		3π		(4n+3)π
więc wszystko postaci		+ 2nπ =		oraz		+2nπ =
	2		2		2		2

by wchodziło w grę ... czyli mamy wszystkie nieparzyste. Jeszcze musielibyśmy sprawdzić czy jakieś parzyste wchodzą w grę czyli, dla jakich parzystych

π		(2an+1)π
	+ 2nπ =		gdzie a∊ (2 ; +∞)
a		a

czyli k = 2an + 1 <−−− zauważamy, że wtedy k musi być liczbą nieparzystą (parzysta + 1 = nieparzysta) więc mielibyśmy sumę wszystkich nieparzystych 'k'

kerajs: Dla obu przedziałów równanie ma rozwiązanie dla każdego naturalnego k

	π
Pójdę dalej i ograniczę przedział do 0<x<		.
	2

Równanie sin kx = sin x ∧ k∊N₊ ma a) nieskończenie wiele rozwiązań dla k=1 b) 2n−1 rozwiązań dla 4n−2≤k≤4n+1