trójkąt prostokątny równoramienny misz: Oblicz pole trójkąta ABC jeśli CX=3, AX=4, BX=5.

wredulus_pospolitus: z tw. Pitagorasa: x² + y² = 3² (a−x)² + y² = 4² (a−y)² + x² = 5² rozwiązujesz ten układ trzech równań w celu wyznaczenia 'a' a wtedy:

	a2
PΔ =		= ....
	2

wredulus_pospolitus: x² + y² = 3² (a−x)² + y² = 4² (a−y)² + x² = 5² x² + y² = 3² (a−x)² + 9 − x² = 16 (a−y)² + 9 − y² = 25 x² + y² = 3² a² − 2ax = 7 a² − 2ay = 16 x² + y² = 3²

a2 − 7
	= x
2a

a2 − 16
	= y
2a

(a²−7)² + (a²−16)² = 9(2a)² (a²−7)² + (a²−16)² = 36a² // t = a² // t² − 14t + 49 + t² − 32t + 256 = 36t 2t² − 82t + 305 = 0 Δ = 6√119

	82 − 6√119
t1 =
	4

	82 + 6√119
t2 =
	4

deliberujemy który z tych dwóch wyników odrzucamy (i dlaczego). I mamy praktycznie pole wyznaczone.

misz: A który odrzucamy? Bo niestety nie wiem

wredulus_pospolitus: to się zastanów się. oszacuj ile by wynosiło 'a' w obu przypadkach i popatrz na dane które masz w zadaniu

misz: Skoro tak piszesz to pewnie to mniejsze t

wredulus_pospolitus: może tak ... może nie ... któż to wie ... pomyślisz chwilę nad tym to się dowiesz, a jak nie ... to nie

misz: Czy musimy sprawdzić to z warunki trójkąta?

wredulus_pospolitus: Chodzi Ci o nierówności trójkąta Jeżeli tak to ... yyyy ... nie.

misz: To niestety nie wiem

wredulus_pospolitus: jak oszacujesz: ... < t₁ < ... i wtedy co powiesz o a₁ i czy widzisz jakiś problem z taką wartością dla boku trójkąta mając dane długości w treści zadania

misz : No ten duży jest za duży bo musi być mniejsze od 9

wredulus_pospolitus: he

	82 − 6√119		82 − 6√100		82 − 60
t1 =		<		=		= 5,5
	4		4		4

więc a₁ < √5.5 < √9 = 3 więc a₁ < 3 .... czyli trójkąt ten miałby wtedy przyprostokątne krótsze niż 3 ... jak to się ma z |CX| = 3 I co to by wtedy oznaczało

wredulus_pospolitus: Albo co to oznacza patrząc na |AX| bądź |BX|

misz : A nie mozna tego sprawdzić z warunku trójkata AXC?

wredulus_pospolitus: no i co Ci da sprawdzenie tych warunków ? a₁ < 3+4 = 7 co jest spełnione dla obu przypadków, pozostałe nierówności trójkąta także będą spełnione

misz : A bo tam trzeba wziąć √t

wredulus_pospolitus: nie jest problemem dla obu a₁ i a₂ zbudowania trójkątów ABX, ACX, BCX ... problemem jest to, że w przypadku a₁ ... punkt X wypada poza trójkąt, ponieważ: 1) |CX| < a 2) |BX| < a√2 3) |AX| < a√2 tylko wtedy punkt X może (ale nadal NIE MUSI) leżeć wewnątrz trójkąta prostokątnego równoramiennego o ramieniu 'a'

misz : Czyli jednak to dłuższe t bierzemy bo a musi być wieksze ≥3

wredulus_pospolitus: a powyższe nierówności (z 18:39) nie są spełnione dla a₁ < √5.5 a dwa z nich nie są spełnione nawet dla mocnego szacowania jakim jest a₁ < 3

wredulus_pospolitus:

	5
nawet więcej a >		≈ 3.54
	√2

Mila: 1) α+γ=90^o 2) Po dorysowaniu przystających trójkątów: ( niezbyt dokładny rysunek) |∡YAX|=90^o ΔYAX− Δprostokątny równoramienny . |XY|=3√2 3) W ΔCXY: 25=18+16−2*3√2*4cosδ

	3		√119		√119
cosδ=		, sinδ=		=
	8√2		√128		8√2

4) |∡AXC|= 45^o+δ

	√2		√2
cos(45o+δ)=		cosδ−		sinδ
	2		2

	√2		3		√119
cos(45+δ)=		*(		−		)
	2		8√2		8√2

	3−√119
cos(45+δ)=
	16

5) W ΔAXC:

	3−√119
a2=9+16−2*3*4*
	16

	9		3√119
a2=25−		+
	2		2

	41+3√119
a2=
	2

=============

Mila: II sposób : α+γ=90^o 1) W ΔXAB:

	a2−16
52=32+a2−2a*3cosα ⇔cosα=
	6a

2) W ΔCAX:

	a2−7
42=a2+32−2a*3cosγ ⇔cosγ=		= sinα
	6a

3) sin²α+cos²α=1

	a2−7		a2−16
(		)2+(		=1
	6a		6a

⇔ 2a⁴−82a²+305=0 Δ=6724−2440=4284=36*119

	82±6√119
a2=		⇔
	4

	41±3√119
a2=
	2

Odrzucamy przypadek z (−) w liczniku Odp.

	41+3√119
a2=
	2

a2		41+3√119
	=
2		4

===================