liczby Oscar: Niech x₁,x₂∊R (x₁≠x₂) takie że (x₁ ² −2x₁ +4ln(x₁))+(x₂ ² −2x₂ +4ln(x₂))− x₁ ² x₂ ²=0 Wykaż że x₁+x₂ ≥ 3.

Szkolniak: Niech a=x₁ i b=x₂ a²−2a+4ln(a)+b²−2b+4ln(b)=a²b² (a²+b²)−2(a+b)+4(ln(a)+ln(b))=a²b² (a+b)²−2ab−2(a+b)+4ln(ab)=a²b² (a+b)²−2(a+b)=(ab)²−4ln(ab)+2ab (a+b)²−2(a+b)+1=(ab)²−4ln(ab)+2ab+1 ((a+b)−1)²=(ab)²−4ln(ab)+2ab+1 (a+b−1)²=(ab)²−4ln(ab)+2ab+1 Założenie co do a oraz b ze względu na logarytm naturalny: a>0 oraz b>0 Mamy do wykazania nierówność: a+b≥3 a+b−1≥2 (a+b−1)²≥4 (ab)²−4ln(ab)+2ab+1≥4 (ab)²−4ln(ab)+2ab−3≥0 Niech ab=x, skąd x>0 Zbadajmy funkcję f(x)=x²+2x−3−4ln(x), x>0, i sprawdźmy czy przyjmuje ona tylko wartości nieujemne.

	4
f'(x)=2x+2−
	x

	4
f'(x)=0 ⇔ 2x+2=		⇔ x∊{1}
	x

f(1)=1+2−3−4ln(1)=0 f'(x)>0 ⇔ x∊(1;+∞) f'(x)<0 ⇔ x∊(0;1) Dzieki temu udowodniliśmy (po równoważnych przekształceniach), że nasza pierwotna nierówność jest prawdziwa. Czy jest ok taki dowód?

Szkolniak: Równość (a+b−1)²=(ab)²−4ln(ab)+2ab+1 możemy też doprowadzić do postaci (a+b−1)²=(ab+1)²−4ln(ab) i wtedy mamy do wykazania nierówność (ab+1)²−4ln(ab)≥4, czyli (ab+1)²−4ln(abe)≥0

ICSP: ln(ab) ≤ ab − 1 // * (−4) −4ln(ab) ≥ −4ab + 4 // + [(ab)² + 2ab + 1] (ab)² − 4ln(ab) + 2ab + 1 ≥ (ab)² − 2ab + 1 + 4 = (ab − 1)² + 4 ≥ 4 z czego równość zachodzi dla ab = 1 Dlatego (a+b−1)² ≥ 4 |a + b − 1| ≥ 2 a + b − 1 ≥ 2 a + b ≥ 3 czyli masz tezę. Teraz pytanie: Czy przejście: a + b − 1 ≥ 2 na (a+b−1)² ≥ 4 jest przekształceniem równoważnym? Jeśli tak to dlaczego?

Szkolniak: Nie jest, przykładowo dla a=0.1 i b=0.2 nierówność ta nie jest prawdziwa W takim razie nie wiem jak to poprowadzić

ICSP: a = 0.1 i b = 0.2 nie spełniają żadnej z dwóch nierówności, więc to kiepski przykład. W ogólnym przypadku nie masz następującej równoważności a + b − 1 ≥ 2 ⇔ (a + b − 1)² ≥ 4 Jednak w tym przykładzie ona zachodzi. Wynikanie a + b − 1 ≥ ⇒ (a + b − 1)² ≥ 4 jest oczywiste, więc musisz jakoś wyciągnąć wynikanie w drugą stronę: (a + b − 1)² ≥ 4 ⇒ a + b − 1 ≥ 2. P.S. Jak widzisz czasem samo nauczenie się regułki o przekształceniach równoważnych nie wystarcza (jeżeli gubisz się w uzasadnieniu, ze tak faktycznie jest) Na studiach matematycznych raczej nie spotkasz się z tego typu dowodem, więc polecam zapoznać się z dowodami typu wprost i nie wprost. P.S2 Dziedzina ustalona za późno. Funkcje: f(x) = 2log(x) , g(x) = log(x²) mimo, że wyglądają podobnie to mają różne dziedziny. Dlatego w zadaniach najpierw ustalamy dziedzinę a potem dokonujemy przekształceń.

Szkolniak: Nierówność z 'a' i z 'b' to rzeczywiście żadna nie jest spełniona, po prostu skupiłem się na tym żeby obie były dodatnie Wynikanie i tych całych równoważności to tak naprawdę nie za bardzo to rozumiem, bo polegając na wiedzy ze szkoły to tak jak polegać na niczym, nie byłem tego uczony − wydaje mi się że to podchodzi pod logikę Nie za bardzo potrafię posługiwać się tymi przejściami i czasami nie wiem jakie znaki stosować, jedynie znam nazewnictwo i na czuja Co do regułek to już wcześniej zastanawiałem się właśnie nad tym przejściem o którym mówiłeś ale jakoś nie wspomniałem o tym Jeśli chodzi o dziedzinę to raczej błędów tutaj nie popełniam, pisząc założenia przeanalizowałem wszystkie poprzednie zapiski, więc wszystko wziąłem pod uwagę, ale dziękuję za radę.