maksimum student: Niech f:R²→R², f(x,y)=sin²(x) * cos²(y). Wykaż ze f ma w punkcie (π/2;0) ścisłe maksimum lokalne oraz jest ono także maksimum globalnym. Jak wykazać że 1 jest ścisłym maksimum lokalnym?

Saizou : sin²x ≥ 0 cos²y ≥ 0 Z nierówności między średnimi

sin2x+cos2y
	≥ √sin2xcos2y =√f(x,y)
2

Lewa strona nierówności jest największa, gdy sin²x = 1 → sinx = 1 lub sinx =−1 cos²y = 1 → cosy =1 lub cosy=−1,zatem

1+1
	≥ √sin2x•cos2y
2

1 ≥ sin²x•cos²y

student: Czy to wystarczy żeby w (π/2;0) jedynka była ścisłym maksimum lokalnym? wg mnie wykazałeś ze 1 jest ograniczeniem górnym.

student:

MilEta: W tym przypadku nie ma co kombinować po prostu sin²x≤1 i cos²x≤1 więc f(x)≤1 Wartość 1 jest przyjmowana m.in. dla x = π/2, y = 0 i tyle − jest to zatem maksimum i loklane i globalne (oczywiście nie jedyne)

MilEta: i cos²y≤1**

MilEta: a ścisłe jest dla tego, że w otoczeniu punktu (π/2, 0) f(x) <1 (łatwo pokazać; w zasadzie oczywiste)