równanie
bodzio: Ponoc da sie te pierwiastki wyznaczyc algebraicznie nie uzywajac wolframa czy moglby ktos mnie
nakierowac na ten sposob? (x2−5x+1)(x2−4)=6(x−1)2
2 sie 19:59
Mila:
(x2−5x+1)(x2−4)−6(x−1)2=0
x4−5x3−9x2+32x−10=0
1) x4−5x3−9x2+32x−10=(x2+ax+b)*(x2+cx+d)=0
Przyjmuję:
b=2, d=−5 lub b=−2, d=5
P=(x2+ax+2)*(x2+cx−5)=x4+cx3−5x2+ax3+acx2−5ax+2x2+2cx−10
P=x4+x3*(c+a)+x2*(−5+ac+2)+x*(−5a+2c)−10
c+a=−5
−3+ac=−9
−5a+2c=32
===========
a=−6, c=−5+6=1
2)x4−5x3−9x2+32x−10=(x2−6x+2)*(x2+x−5)
(x2−6x+2)*(x2+x−5)=0
rozwiązuj
2 sie 20:47
Mila:
Mariusz poda inny sposób.
2 sie 20:48
chichi:
Super rozwiązanie @
Mila,
Mariuszowe będzie nieco dłuższe
2 sie 20:55
2 sie 21:29
WW5:
x4−5x3−9x2+32x−10=0
i grupowaniem
x4−6x3+2x2+x3 −6x2+2x−5x2+30x−10=0
x2(x2−6x+2) +x(x2−6x+2)−5(x2−6x+2)=0
(x2+x−5)(x2−6x+2)=0
2 sie 22:05
Mariusz:
Mila twoje rozwiązanie byłoby ok , gdyby nie to że od razu przyjęłaś że
b=2 oraz d=−5
Tutaj to zadziałało ale na ogół to b oraz d trzeba obliczyć
i dostajemy wtedy równanie szóstego stopnia sprowadzalne do równania trzeciego stopnia
(Podstawienie pozwalające wyrugować wyraz z a
5 wyruguje także pozostałe wyrazy
o nieparzystej potędze zmiennej a)
Ja wolę jednak sprowadzić wielomian najpierw do różnicy kwadratów ponieważ
wymaga on nieco mniej liczenia
(nieco mniej bo nadal trzeba będzie rozwiązać równanie trzeciego stopnia
jednak aby dostać to równanie trzeciego stopnia nie potrzeba żadnych podstawień)
x
4−5x
3−9x
2+32x−10=0
(x
4−5x
3)−(9x
2−32x+10)=0
| | 25 | | 61 | |
(x4−5x3+ |
| x2)−( |
| x2−32x+10)=0 |
| | 4 | | 4 | |
| | 5 | | 61 | |
(x2− |
| x)2−( |
| x2−32x+10)=0 |
| | 2 | | 4 | |
| | 5 | | y | | 61 | | 5 | | y2 | |
(x2− |
| x+ |
| )2−((y+ |
| )x2+(− |
| y−32)x+ |
| +10)=0 |
| | 2 | | 2 | | 4 | | 2 | | 4 | |
| | y2 | | 61 | | 5 | |
4( |
| +10)(y+ |
| )−(− |
| y−32)2=0 |
| | 4 | | 4 | | 2 | |
| | 61 | | 5 | |
(y2+40)(y+ |
| )−( |
| y+32)2=0 |
| | 4 | | 2 | |
| | 61 | | 5 | |
y3+ |
| y2+40y+610−( |
| x2+160y+1024)=0 |
| | 4 | | 4 | |
y
3+9y
2−120y−414=0
(y+3)
3=y
3+9y
2+27y+27
(y+3)
3−147(y+3)=y
3+9y
2+27y+27−(147y+441)
(y+3)
3−147(y+3)=y
3+9y
2−120y−414
y=−3
| | 5 | | y | | 61 | | 5 | | y2 | |
(x2− |
| x+ |
| )2−((y+ |
| )x2+(− |
| y−32)x+ |
| +10)=0 |
| | 2 | | 2 | | 4 | | 2 | | 4 | |
| | 5 | | 3 | | 49 | | 49 | | 49 | |
(x2− |
| x− |
| )2−( |
| x2− |
| x+ |
| )=0 |
| | 2 | | 2 | | 4 | | 2 | | 4 | |
| | 5 | | 3 | | 7 | | 7 | |
(x2− |
| x− |
| )2−( |
| x− |
| )2=0 |
| | 2 | | 2 | | 2 | | 2 | |
| | 5 | | 3 | | 7 | | 7 | | 5 | | 3 | | 7 | | 7 | |
((x2− |
| x− |
| )−( |
| x− |
| ))((x2− |
| x− |
| )+( |
| x− |
| ))=0 |
| | 2 | | 2 | | 2 | | 2 | | 2 | | 2 | | 2 | | 2 | |
(x
2−6x+2)(x
2+x−5)=0
3 sie 04:12
3 sie 05:50
bodzio:
Dziekuje za pomoc, Mila czy moge zapytac dlaczego wzielas b=2 oraz d=−5? wiem ze ich iloczyn
bd=−10 tak musi byc, ale czy nie jest tak ze takich par (b,d) takich ze bd=−10 jest
nieskoczenie wiele?
4 sie 19:48
Mila:
Podjęłam taką próbę ( ryzyko ) i udało się.
Można było tak:
x4−5x3−9x2+32x−10=(x2+ax+b) *(x2+cx+d)
wykonać mnożenie z prawej:
wtedy b*d=−10 i znowu kilka prób, ustalam najpierw wartości c i d jako całkowite, bo
współczynniki
wielomianu z lewej strony są całkowite.
Poczytaj teorię podaną przez Mariusza w ostatnim linku z 3sierpnia 05: 50.
4 sie 20:15
bodzio: Dziekuje, zatem twoja metoda jest okolicznosciowa i w tym przypadku wyszlo a czasami tak latwo
juz moze nie byc. Natomiast Mariusza metoda dluzsza i trudniejsza ale zawsza dziala tak?
4 sie 20:20
Mila:
1) Jeżeli masz W(x) 4 stopnia o wsp. całkowitych i polecenie:
"Przedstaw W(x) jako iloczyn dwóch wielomianów drugiego stopnia o współczynnikach
całkowitych",
to możesz rozwiązywać sposobem, który podałam.
2) Jeśli masz rozwiązać równanie ,
to są różne metody rozwiązywania .
Doprowadzamy do iloczynu dwóch wielomianów drugiego stopnia, tak jak podałam albo
odpowiednio grupujemy wyrazy
albo
stosujemy inne metody, masz podane w linkach .
4 sie 22:04
Mariusz:
Bodzio jeżeli chcesz aby metoda przedstawiona przez Milę
działała dla każdego równania czwartego stopnia to zamiast zgadywać
liczby b oraz d na podstawie rozkładu wyrazu wolnego na czynniki
po prostu te współczynniki obliczasz rozwiązując układ równań
powstały po wymnożeniu trójmianów kwadratowych i
porównaniu współczynników przy wielomianach
Ja jednak wolę rozkład najpierw przedstawić wielomian czwartego stopnia najpierw w postaci
różnicy kwadratów a dopiero w postaci iloczynu dwóch trójmianów kwadratowych
bo wymaga to nieco mniej obliczeń
(nieco mniej bo w obydwu przypadkach nie da się uniknąć
rozwiązania równania trzeciego stopnia)
Obydwie te metody są jednak ogólne
5 sie 21:42
