funkcja kwadratowa maturalnyy: Dana jest funkcja f(x)=ax²+bx+c. Jeśli a(a+b+c)<0 to f(x)=0 ma (A) co najmniej jeden pierwiastek w (0,2) (B) dokładnie jeden pierwiastek w (1,2) (C) nie ma pierwiastków w (1,∞) (D) co najmniej jeden pierwiastek w (−∞,0) ?

wredulus_pospolitus: skoro jest to test wyboru to ... możemy na początek po prostu sprawdzić, które odpowiedzi nie będą poprawne: niech f(x) = x² − 100 ... jak widać spełniony jest warunek a(a+b+c) < 0 widać także, że: 1) f(0) = −100 2) łatwo można odnaleźć miejsca zerowe funkcji (x = −10 i x = 10) związku z tym (A), (B) i (C) odpadają ... pozostało nam jedynie (D) które zaznaczamy i idziemy do kolejnego zadania.

wredulus_pospolitus: Tylko jedna uwaga −−− żadna odpowiedź nie jest prawidłowa kolejny przykład:

	−3 − √5		3+√5		3 − √5
f(x) = −x2 + 3x − 1 −−−> x1 =		=		> 0 ; x2 =		>0
	−2		2		2

więc odpowiedź (D) TAKŻE odpada

maturalnyy: Dzieki Mam jeszcze takie Dana jest funkcja f(x)=ax²+bx+c. Jeśli 14a+9b+6c=0 to f(x)=0 ma (A) co najmniej jeden pierwiastek w (0,2) (B) dokładnie jeden pierwiastek w (1,2) (C) nie ma pierwiastków w (1,∞) (D) co najmniej jeden pierwiastek w (−∞,0) ?

wredulus_pospolitus: Robimy bardzo podobnie: NWD(14,9,6) = 9*14 = 126 więc chodzi o funkcje f(x) = 9d*x² + 14e*x + 6f ; gdzie d+e+f = 0 no to dajemy takie dwa przykłady: 1) d = 0 ; e = 1 ; f = −1

	6		3
f(x) = 14x − 6 −−−> x0 =		=		odpada (B) i (D)
	14		7

2) d = 1 ; e = −1 ; f = 0

	14
f(x) = 9x2 − 14x = 9x*(x −		) −−−> odpada (C)
	9

Ostaje się jedynie (A) (o ile nie jest to zadanie jak poprzednio, gdzie nie było żadnej prawidłowej odpowiedzi)

wredulus_pospolitus: poprawka: f(x) = 9d*x² + 14e*x + 21f co niewiele zmienia postać rzeczy, co :

	3
f(x) = 14x − 21 −−> xo =		−−−> odpada (C) i (D)
	2

f(x) = 9x² − 28x + 21 −−> odpada (B)

chichi: NWD

chichi: NWD(14,9,6)=1 NWW(14,9,6)=126

maturalnyy: Dzięki ale to może być podobne jak to pierwsze, więc jak sprawdzić czy (A) jest prawdziwe

maturalnyy: Czemu wziąłeś funkcję liniową f(x) = 14x − 21

maturalnyy:

wredulus_pospolitus: a czemu nie? d = 0 ; e = 1 ; f = −1 warunek d+e+f = 0 spełniony ... a łatwo i szybko wyznaczam miejsce zerowe dzięki któremu odrzucam dwie możliwe odpowiedzi

maturalnyy: Ok dzięki a jak sprawdzić czy A jest na pewno poprawne

wredulus_pospolitus: f(0) = 21f f(2) = 36d + 28e + 21f = 28(d+e+f) + 8d − 7f = 8d − 7f i teraz dowód niewprost (czyli staramy się wykazać, że wszystkie miejsca zerowe będą poza przedziałem (0;2) ) I przypadek: d*f < 0 ; (czyli parabola z ramionami do góry + f(0) < 0 lub ramiona w dół + f(0) > 0)

	−14e		e		18
xwierzchołka ≥ 2 −−−>		≥ 2 −−−>		≤ −
	18d		d		7

co oznacza, że

	4
albo d>0 i wtedy f<0 oraz e ≤ −2		d < 0 (co doprowadza do sprzeczności d + e + f = 0)
	7

	4
albo d < 0 i wtedy f > 0 oraz e ≥ −2		d > 0 (co także doprowadza do tej samej
	7

sprzeczności) II przypadek: d*f > 0 ; (czyli ramiona do góry + f(0) > 0 lub ramiona w dół + f(0) < 0)

	7e		e
xwierzchołka ≤ 0 −−−> −		≤ 0 −−>		≥ 0
	9d		d

co daje albo d>0 więc f>0 oraz e ≥ 0 (sprzeczność równości d+e+f = 0) albo d<0 więc f<0 oraz e ≤ 0 (i znowu ta sama sprzeczność) III przypadek f(0) > 0 −−−> f > 0

	8
f(2) > 0 −−−> f <		d ; d > 0
	7

d < 0 (parabola z ramionami do dołu)

	e		18
xwierzchołka ∊ (0;2) −−>		≤ 0 (więc e ≤ 0) oraz e ≤ −		d
	d		7

	18		8		3
i mamy: d+e+f < d + (−		d) +		d = −		d < 0 (sprzeczność)
	7		7		7

IV przypadek (0) < 0 f(2) < 0 d > 0 (parabola z ramionami do góry) x_wierzchołka ∊ (0;2) to już samemu rozwiązuj V przypadek d = 0 (funkcja liniowa ... a z równości d+e+f = 0 wynika, że f = −e)

	3
wtedy f(x) = 14e*x − 21e = 7e(2x−3) −−−> xo =		czyli w przedziale (sprzeczność)
	2

VI przypadek Δ < 0 −−−> Δ = 196e² − 756d*f < 0 −−−> 49e² − 189d*f = 49*(−d−f)² − 189df = 49d² − 91df + 49f² = 49(d−f)² + 7df < 0 −−−> 7(d−f)² + df < 0 spełnione to mogłoby być jedynie gdy d*f < 0 (czyli gdy ramiona do dołu + f(0) > 0 lub ramiona do góry + f(0) < 0 w obu przypadkach mamy jednak wtedy Δ > 0 −−− sprzeczność)

wredulus_pospolitus: ogólnie −−− dużo pierdolenia przy tym ... może jest łatwiejszy sposób na wykazanie jednoznacznie prawdziwości odpowiedzi (A) (poza tym, że test jednokrotnego wyboru winien posiadać jedną poprawną odpowiedź), ale jakoś go na chwilę obecną nie widzę. Może dałoby się połączyć III i IV przypadek, ale to chyba wszystko co się da zrobić.

wredulus_pospolitus: III przypadek przeoczyłem natychmiastową sprzeczność f(0) > 0 −−−> f > 0

	8
f(2) > 0 −−−> f <		d (a jako, że f > 0 ... to mamy: d>0)
	7

d<0 (ramiona skierowane do dołu) i mamy sprzeczność −−−> d>0 i jednocześnie d<0 z pewnością dokładnie taka sama kwestia będzie w IV przypadku