Równanie na x Karolina: Chciałam zapytać, dlaczego w równaniu x³=x nie można podzielić go obustronnie przez wspólny czynnik, czyli x? Od razu chciałabym powiedzieć, że wiem, iż wtedy wynik będzie błędny, bo nie uwzględnilibyśmy w rozwiązaniu zera. Wiem, że trzeba rozwiązać je tak: x³=x, x³−x=0, x(x²−1)=0, x=0, x²=1, x=1, x=−1. Chodzi mi o to, skąd należy wiedzieć, kiedy możemy podzielić równanie obustronnie przez wspólny czynnik, a kiedy nie? Czy jest na to jakaś zasada czy trzeba to robić na wyczucie (po prostu samemu zauważyć, kiedy sposób z dzieleniem obustronnie równania przez wspólny czynnik nie uwzględni wszystkich rozwiązań i wtedy zastosować drugi sposób (przenoszenia)? Z góry bardzo dziękuję za rozwianie moich wątpliwości

MilEta: Nie można dzielić przez 0, jedna jedyna reguła np mając równanie x³ = x dzieląc przez x zakładamy, że x nie jest równy 0 (w innym przypadku taka operacja jest niedozwolona) Inny przykład: 3(x−1) + (x−1)² = 2(x−1) Czy moge podzielić obie strony przez x−1? Tak, ale tylko pod warunkiem że x nie jest równy 1 bo wtedy dzieliłabym przez zero 3 + (x−1) = 2

MilEta: więc albo dzielimy tak ja ty, ale wtey sprawdzam osobno rpzypadek a co gdyby było zero.. lub przenosimy na jedną strone, wyciągamy przed nawias i problem przypadków znika

MilEta: I sposób x³ = x / : x ≠0 i mam x² = 1. A gdyby x = 0 to równanie prawdziiwe i taki x też ok II sposób x³ = x zatem x³ − x = 0 a zatem x(x² − 1) = 0 a zatem x = 0 lub x² − 1 = 0

ite: Ja widzę jeszcze jeden sposób szukania odpowiedzi. Najczęściej z treści zadania wynika, wśród jakich liczb (rzeczywistych, wymiernych, naturalnych) należy szukać rozwiązania. Np. "znajdź wszystkie rozwiązania rzeczywiste". Wtedy dzieląc przez x∊ℛ, mogłabyś wykonać dzielenie niedozwolone, czyli przez 0. Gdyby w poleceniu była mowa, że x∊ℕ₊, to szukając wśród nich rozwiązania, nie zrobisz błędu dzieląc przez x. Jeśli nie dzielimy przez x a przez x−1 jak o 20:16, to rozumowanie jest analogiczne.

Karolina: Bardzo bardzo dziękuję W takim razie myślę, że najbezpieczniej jest stosować częściej metodę przenoszenia. Jeszcze raz bardzo dziękuję

chichi: Możesz podzielić, ale przed to sprawdź co się dzieje dla x=0, albo wyzueruje albo nie I wtedy wiesz czy jest rozwiązaniem równania czy nie. Następnie jak dzielisz to zakładasz, że x≠0

Karolina: Dziękuję jeszcze raz. A teraz zastanawiam się nad równaniem: |x|=x. Dlaczego dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, a nie <0,+∞)? Jak w ogóle należałoby rozwiązać to równanie?

MilEta: Dlatego, że formalnie możesz podstawić dowolną liczbe rzeczywista i sprawdzić czy zachodzi równość (jakby samo sprawdzenie warunku może być zarówno dla −3 jak i 3) gdyby np bylo |x|/x = 1 to dziedziną by było R\{0} bo jest sens sprawdzać tylko niezerowe iksy (dzielenie przez 0 nie jest zdefiniowane)

MilEta: A jak rozwiązać, na przypadki 1) gdy x >0 to mamy x = x czyli ok 2) dla x = 0 mamy 0 = 0 czyli ok 3) dla x<0 mamy −x = x czyli sprzeczne

Karolina: Jeszcze raz bardzo dziękuję