pole aldona:

	x2		y2
Prosta y=x przecina elipsę		+		=1 w punktach P i Q. Niech ABCD bedzie
	576		441

czworokątem opisanym na elipsie tak że BC || DA || PQ oraz AB i CD są styczne odpowiednio w punktach P i Q. Oblicz pole ABCD. Punkty P i Q można wyliczyc ale jak dalej.

aldona: Czy to bedzie kwadrat o boku długości |PQ|?

ite: romb

aldona: Romb o boku |PQ|

ite: nie, moja odpowiedź z 15:52 jest błędna : (

aldona: Czy to bedziew takim razie kwadrat o boku długości |PQ|?

Mila: Wg mnie nie będzie to kwadrat . 1) Styczne w punktach P i Q mają równania:

	−49		21√113
y=		x±
	64		8

2) Styczne równolegle do prostej PQ: y=x+b Zatem kąt między stycznymi nie jest prosty, kwadrat i prostokąt odpadają. Może to być równoległobok, ale obliczenia są nieprzyjazne, kąt między stycznymi BC i DC :

	113
tg∡BCD=
	15

No i nie wpadła mi do głowy jakaś własność ułatwiająca problem. Czy Ite byłaby tak uprzejma i wrzuciła to do geogebry?

ite: Milu zrobione https://www.geogebra.org/graphing/fngm6rww to będzie równoległobok, mam jednak nadzieję, że ktoś inny w ten gorący, lipcowy wieczór to policzy : )

ite: moja odpowiedź z rombem byłaby poprawna,

	x2		y2		21
gdyby podaną elipsę		+		=1 przecięto prostą o równaniu y =		x
	242		212		24

http://i.prntscr.com/dYCCUSAlT9G9cE2SsG9IPQ.png

ite: trochę poprawiłam kolory i lepiej widać boki czworokąta http://i.prntscr.com/DE_7DjHWQjaFEh8CgnjO3g.png

aldona: Czyli |PQ| to długość boku, a jak policzyć wysokość?

ite: aldona |PQ| to długość dwóch boków równoległych do odcinka PQ. Dwa pozostałe (też równoległe) mają inną długość. Wysokość tego równoległoboku jest równa odległości dwóch równoległych boków (albo prostych, w których są zawarte).

aldona: Ok, ale jak w tym zadaniu policzyć tę wysokość?

Mila: Dziękuję ite Dziękuję, czyli tak, jak myślałam− równoległobok, ale nie romb. Trochę inaczej oznaczyłam, dam rysunek w skali. Czy aldonka policzyła jakieś wielkości? proszę napisać. Postaram się obliczyć, (niekoniecznie dzisiaj).

aldonka: Mam tylko PQ=48√113/7

Mila: szkic

aldonka: Ok , a jak policzyć wysokość?

Mila: Na razie nie można, bo nie masz 2 pozostałych boków. Równanie stycznych równoległych do PQ potrzebne. Oblicz ponownie długość PQ,

aldonka: A czemu PQ jest źle?

Mila: Rysuję w skali aby było widać równoległobok. a=24:3=8 b=21:3=7

x2		y2
	+		=1
82		72

Z Twierdzenia Apolloniosa o średnicach sprzężonych mamy własność: Równoległobok stycznych przylegających do średnic sprzężonych ma pole: P=4ab 2) DLa elipsy i odpowiedniego równoległoboku wg treści zadania:

x2		y2
	+		=1
242		212

a=24, b=21 P_ABCD=4*24*21=2016

Mila: P_ABCD=4*2*3=24 P_ABCD=6*4=24

aldonka: Twierdzenia Apolloniosa o średnicach sprzężonych − mało spotykane, dziekuję

Mila: Skąd masz to zadanie?