minimalna wartość kaja: Niech x,y∊R oraz √x+6 + √y+6 = x+y. Wyznacz minimalną wartość x+y.

MilEta: Z symetrii (warunku jak i wyrażenia do zminimalizowania) na pewno wtedy x = y a wtedy √x+6+√x+6 = x+x 2√x+6 = 2x √x+6 = x x+6 = x² x² −x − 6 = 0 → x₁ = −2, x₂ = 3 ale x = −2 nie jest w dziedzinie Ostatecznie x = y = 3 i wtedy x+y = 6

kaja: A kiedy będzie przyjmować wartość maksymalną?

MilEta: Jednak cos mi sie nie podoba.. bo jak weźmiemy x = 0 to wtedy łatwo wyliczyć, że y = 1+2√6 i wtedy x+y będzie mniejsze niż 6 Z kolei dla x = −6, y = 10 mamy x+y = 4 czyli da sie jeszcze mniej To co podałam wyzej to będzie chyba ta maksymalna, zaraz sie zastanowie jak to ladnie pokazac

MilEta: x+6 = s² (niech też s≥0) y+6 = t² (niech też t≥0) wtedy mamy s + t = s² + t² − 12 i chcemy zminimalizować x+y (ale z warunku to to samo so √x+6+√y+6 czyli s+t) s+t = (s+t)² − 12 − 2st Niech a = s+t, b = st (czyli chcemy zminimalizować a); oczywiście a≥0, b≥0 a = a² − 12 − 2b. a² − a −12 − 2b = 0

	1
b =		(a2−a−12)
	2

	1
b =		(a+3)(a−4)
	2

I teraz widać, że najmniejsze a dla którego a≥0 oraz b≥0 to a = 4 czyli s+t = 4 (a to właśnie chcieliśmy zminimalizować) Zatem najmniejsza wartość x+y to 4. Spróbuj podobnym rozumowaniem pokazać, że najwjększa wartość to będzie 6 (prawdopodobnie)

MilEta: Przyszło mi do głowy inne, myśle ciekawsze rozwiązanie Z nierówności miedzy średnią kwadratową a arytmetyczną

	√x+62+√y+62		√x+6+√y+6
√		≥
	2		2

dodatkowo, korzystamy z warunku

	x+y+12		x+y
√		≥
	2		2

Niech x+y = t

	t+12		t
√		≥
	2		2

t+12		t2
	≥
2		4

2t+24 ≥ t² t²−2t − 24 ≤ 0 gdy t∊[−4,6] Zatem widać, że x+y ∊ [−4,6] Najmniejsza wartość to −4 (jest osiągana dla x=−6, y = 10), największa 6 (dla x=y=3)

kaja: Dzieki

MilEta: Rozumowanie jest ok, ale mały błąd w rozumowaniu sie wkradł (oczywiście t≥0 jest) zatem w trzeciej linicje od konca t ∊ [0,6] i stąd wiemy jaka maksymalna wartość będzie (to −4 to jakieś chwilowe zaćmienie)