Układ równań. etylen: Rozwiąż układ równań:

	20
x−y+√(x−y)/(x+y)=
	x+y

x²+y²=34

ABC: 6−latek, etylen to twój nowy pseudonim teraz? Bo takie zadania są w radzieckim zbiorze zadań Modenowa z lat 50 XX wieku , kto takie książki może mieć?

a7: https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%E2%88%92y%2B%E2%88%9A%28x%E2%88%92y%29%2F%28x%2By%29%3D20%2F%28x%2By%29+%26+x%5E2%2By%5E2%3D34

a7: poprawka w "input" https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%E2%88%92y%2B%E2%88%9A%28%28x%E2%88%92y%29%2F%28x%2By%29%29%3D20%2F%28x%2By%29+%26+x%5E2%2By%5E2%3D34

ABC: a gdy 70 lat temu nie było Wolframa , to jak to robili?

a7: no pewnie to było dla magików

ICSP: u = x − y oraz v = x + y wraz z tożsamością polaryzacyjną dają:

	20
u + √u/v =
	v

u² + v² = 68 Niech v > 0. Pociąga to za sobą również u > 0 i w konsekwencji u + v > 0. Mnożąc przez v: uv + √uv = 20 skąd natychmiast uv = 16 Dalej równość (u+v)² = u² + v² + 2uv pozwala wyznaczyć u + v = 10 Z pomocą wzorów Viete'a tworzymy równanie o pierwiastkach u i v: z² − 10z + 16 = 0 skąd po rozwiązaniu: (u = 2 i v = 8 ) lub (y = 8 i v = 2) skąd łatwo wyznaczyć (x = 5 i y = 3 ) lub (x = 5 i y = −3) Przypadek dla v < 0 jest analogiczny. uv = 25 u + v = −118 itd

ICSP: Zgubiłem pierwiastek na końcu: u + v = −√118

a7: wow!

ICSP: Mila strasznie naciągane. Po pierwsze: przekształcenie

	20
u + √u/v =
	v

nie jest prawdziwe dla każdego v Po drugie: równanie √uv = 20 − uv Dla uv = 25 jest sprzeczne.

	√118		3
Po trzecie: x =		, y = ±
	2		√2

nie jest jednym z rozwiązań.

ICSP: przekształcenie:

	20
u + √u/v =
	v

na uv + √uv = 20 nie jest prawdziwe dla każdego v.

Mila: To jest zadanie z egzaminu w 1984 roku na Akademie Rolnicze. Było 7 zadań . To zadnie było ostatnie. Trzeba było wybrać 5 zadań i rozwiązać w ciągu 4 godzin. Inne zadanie z tego egzaminu: 2) Dla jakiej wartości m równanie : x²+y²−2mx−4y+2m²−5m+4=0 przedstawia okrąg leżący w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych.

Mila: Tak w rozwiązaniu pogubiłam znaki Masz rację Sprawdzę wszystko

ICSP:

Szkolniak: Mila czy odpowiedź to m∊<4;5)?

Mila: Odp. wg książki. m∊(4,5). Nie rozwiązywałam tego zadania. Szkoda , że nie popatrzyłam na odp. w poprzednim zadaniu, bo głupoty napisałam

chichi: Ty masz ten plus, że zawsze się możesz wybielić, to tak samo jak z zaszczepionymi @Szkolniak dla m=4 leży w 1 ćwiartce, ale jest styczny do osi OX, może dlatego odrzucają m=4, bo uznają, że musi leżeć w całości

daras: ciężko było kiedyś zostac mgr rolnictwa

daras: teraz rozwiązuja na maturze 2+2 i idą n a"studia" i myslą, że zjedli wszystkie rozumy

Mila: No cóż z geniuszami nie dyskutuje się. Zatem milczę.

Mila: daras pozostałe zadania nie były trudne.

ABC:

	x−y
w rosyjskim zbiorze zadań rozwiązuje się wprowadzając		=a2 i następnie wyliczając a
	x+y

Szkolniak: chichi wiem o tym, dlatego ta czwórka według własnej interpretacji Mila, ja posiadam w domu zbiór zadań Gdowskiego i Plucińskiego i też na końcu są właśnie takie zadania jak wspomniałaś (rolnicze itp) I tak jak mówisz, niektóre całkiem łatwe

chichi: W zbiorach Kiełbasy również są takie zadania i niektóre też są ciekawe

Mariusz: Ten układ równań z pierwszego wpisu można też było podstawieniem rozwiązać

	20
x−y+√(x−y)/(x+y)=
	x+y

x²+y²=34

	y2−x2+20
√(x−y)/(x+y)=
	x+y

x²+y²=34

x−y		(y2−x2)2+40(y2−x2)+400
	=
x+y		(x+y)2

x²+y²=34

	y2−x2		(y2−x2)2+40(y2−x2)+400
−		=
	(x+y)2		(x+y)2

x²+y²=34 (y²−x²)²+41(y²−x²)+400=0 x²+y²=34 y⁴−2x²y²+x⁴+41y²−41x²+400=0 x²+y²=34 (34−x²)²−2x²(34−x²)+x⁴+41(34−x²)−41x²+400=0 x²+y²=34 x⁴−68x²+1156+2x⁴−68x²+x⁴+1394−41x²−41x²+400=0 x²+y²=34 4x⁴−218x²+2950=0 x²+y²=34 2x⁴−109x²+1475=0 x²+y²=34 Otrzymaliśmy do rozwiązania równanie dwukwadratowe ale po drodze podnosiliśmy obustronnie do kwadratu więc po rozwiązaniu musimy sprawdzić czy nie otrzymaliśmy pierwiastków obcych

Mila: Szkolniak, ten układ też jest ciekawy, ale trzeba uważać na założenia i rachunki , wtedy jak pokazał ICSP ładnie się rozwiązuje. Z Kiełbasy (wyd. 2009 rok) rozwiązałam (kiedyś tam) wszystko, ale mało jest równań.

Mariusz: ABC 26 lip 2021 23:42 , próbowałem tego przed przeczytaniem twojego wpisu i nic z tego nie wyszło a Mila bawi się w usuwanie swoich wpisów

Mila: Bardzo Ci to przeszkadza Mariuszu ? Usunęłam zapis, aby jakiś uczeń korzystający z forum nie został wprowadzony w błąd m.i. z powodu rozwiązania tego zadania bez założeń . Ponadto mogę usunąć także Twój zapis , jeśli będziesz kiedyś potrzebował. Pozdrawiam

chichi: @Mila to jest żadne wytłumaczenie, wystarczy napisać niżej komentarz, że rozwiązanie z tej i tej godziny jest błędne i dlaczego. Może wielu uczniów postąpi lub będzie chciało postąpić jak Ty, ale znajdą to rozwiązanie uznane za błędne z odpowiednim wytłumaczeniem i będzie to dla nich pomocne. A ten Twój argument, że usuwasz aby kogoś nie wprowadzać w błąd, proszę Cię... Nikt nie jest bezbłędny, ale to co robisz, aby sprawiac takie wrażenie jest dla mnie niezrozumiale

Mila: Przepraszam.

Szkolniak: Mila Kiełbasy akurat nie mam i nie wiem o której książce dokładnie mówisz − byłabyś w stanie tutaj wrzucić link ze zdjęciem? To może poszukam i zakupię dla treningu Trening by się przydał bo zająłem się po trochu materiałem ze studiów i była lekka przerwa z takimi zadaniami jak te

chichi: @Szkolniak zbiór jest jeden, składa się z dwóch części tylko @Mila ma nieco starsza wersję, tutaj masz link jak wyglądają zbiory https://zapodaj.net/2ed969c281277.jpg.html

Mariusz: Mila z jednej strony to dobrze bo tak jak napisałaś uczniowie nie będą się wzorować z drugiej strony gdybym zobaczył twoje rozwiązanie i zauważył że pokrywa się z moim to raczej bym tego swojego nie umieszczał Po zastanowieniu rozwiązanie zaprezentowane przez ICSP jest jednak lepsze

Mila: MariuszTwoje rozwiązanie jest inne niż moje było. Dlaczego nie pisałbyś? Z kolei ja zasugerowałam się Twoim rozwiązaniem ( początkiem).

x−y		(x−y)*(x+y)
	=
x+y		(x+y)2

wtedy:

	√(x−y)*(x+y)		20
x−y+		=
	|x+y|		x+y

Teraz założenia i do przodu.

Szkolniak: Dzięki chichi, pomyślę czy zakupić Kiełbasę czy od razu na studia Krysickiego i Włodarskiego żeby ćwiczyć Albo poczekam na rozpoczęcie studiów to może będą polecać jakąś literaturę, wtedy zadecyduję

chichi: @Szkolniak na docerze znajdziesz darmowe PDF'y Kiełbasy

Szkolniak: Właśnie niby tak, ale w takich wersjach elektronicznych nawet nie ma jak zaznaczać zrobionych zadań i potem już nie pamiętam czy je robiłem czy nie Krysicki też jest i też niby mam, ale raczej wolę w wersji papierowej Sporo idzie znaleźć w internecie w ogóle − mam Rudina, Fichtenholza, Sierpińskiego itd. tylko że niestety trzeba z nosem w ekranie siedzieć

chichi: Ja też używam tylko tych fizycznych wersji książek, ale możesz sobie zajrzeć chociaż do Kiełbasy i popatrzeć na zadania

Szkolniak: Kiedyś pobrałem już i coś tam rzuciłem okiem, ale nawet nie robiłem bo i tak bym się pogubił co robiłem a co nie, a to wtedy dla mnie bez sensu Z tego co pamiętam to jakieś zadania ciekawe były, ale to wyjątki, a wiesz, nie chcę robić zadań tylko po to by trzaskać jak najwięcej tych najłatwiejszych Chociaż uważam że taki Kiełbasa w porównaniu z Krysickim i Włodarskim to już trochę inna bajka, nie wiem czy wiesz o co chodzi

chichi: Krysicki & Włodarski to zbiór zadań z analizy matematycznej, natomiast zbiór Kiełbasy to zbiór zadań maturalnych ze wszystkich działów matematyki ze szkoły średniej, który zawiera zadania ciekawsze − te ze starszych lat z egzaminów wstępnych na uczelnie etc. To nie jest zbiór zadań do matematyki wyższej w przeciwieństwie do K&W

Szkolniak: Dokładnie, zabrakło mi słowa żeby opisać K&W Czyli rozumiem że Kiełbasa najlepszy jeśli chodzi o cały materiał ze szkoły średniej? A jak nie to miałbyś może jakiegoś swojego faworyta?

chichi: Ale masz na myśli faworyta jeżeli chodzi o materiał ze szkoły średniej tak?

Szkolniak: Dokładnie tak, ale nie że typowo pod przerabianie i uczenie się każdego działu od podstaw, tylko jakieś ciekawsze zadania Podstawy chyba mam już za sobą także strata czasu takie zadania robić myślę

chichi: Jeżeli chodzi o takie zadania, o których tutaj wspominaliśmy (z egzaminów wstępnych na uczelnie wyższe) to nawet fajne zadania trafiają się w tej pozycji: https://zapodaj.net/328cef21104eb.jpg.html

ite: Zadania ze zbioru CKE dla maturzystów często wymagają pomyślenia, mają też pełne rozwiązania. https://cke.gov.pl/images/_EGZAMIN_MATURALNY_OD_2015/Materialy/Zbiory_zadan/Matura_Zbi%C3%B3r_zada%C5%84_Matematyka_PR.pdf Eta (jeśli się nie mylę) podawała kiedyś ten 100matura.pdf https://sites.google.com/site/cezaryirek/matura/zadania-rozne

ite: Dla miłośników trudniejszych zadań jest jeszcze Gdowski, Pluciński "Zbiór zadań z matematyki dla kandydatów na wyższe uczelnie" dostępny w pdfie. Program okroili, ale do powtórki przed maturą jest co wybrać. https://prnt.sc/1hjg7jx

chichi: Gdowski & Pluciński również posiadam, @Szkolniak również pisał, że posiada ten zbiór. Zerknę do tej 100matura dzięki

chichi: Zbiór Dróbka & Szymański też posiada fajne zadanka

ite: Myślę, że 6−latek wskazałby jeszcze kilka zbiorów z kącika dawnej książki matematycznej.