max i min Gabrysia: Znaleźć max i min funkcji f(x,y)=√e^2x−2e^xcos y +1 przy warunku x²+y²=1. Liczę pochodne cząstkowe i przyrównuje do zera e^x−cos y=0 e^x sin y=0 x²+y²=1 Jak dalej, bo nie wiem czy ten układ ma rozwiązanie?

wredulus_pospolitus: rozumiem, że w równaniu dajesz już same liczniki ... pytanie brzmi −−− skąd taki licznik dla pochodnej po x

wredulus_pospolitus: e^x*siny = 0 −−−> e^x = 0 (nierealne) ∨ siny = 0 −−> y = 0 + kπ mamy warunek x² + y² = 1 −−−> y∊ <−1 ; 1> −−−> y = 0 (bo tylko taki spełnia powyższe równanie) teraz podstawiasz do POPRAWIONEGO pierwszego równania i wyznaczasz 'x'

ICSP: Jakim sposobem/Jaką metodą to w ogóle robisz?

wredulus_pospolitus: dobra ... po skróceniu pierwsze równanie też takie wyjdzie, chociaż dzielenie przez e^x można wykonać jedynie przy komentarzu, że e^x > 0 dla x∊R

Gabrysia: Ale cos(kπ)=(−1)^k wiec mam e^x=(−1)^k i co teraz?

Gabrysia: ICSP można wyliczyć y z równania okręgu ale to bardzo skomplikuje szczególnie pochodną. wredulus_pospolitus: Ale cos(kπ)=(−1)^k wiec mam e^x=(−1)^k i co teraz?

ICSP: Pytałem o metodę wyznaczania ekstremów warunkowych nie o sposób rozwiązywania otrzymanych równań.

wredulus_pospolitus: przeczytaj ze zrozumieniem co napisałem o 16:55 z drugiego równania wychodzi: siny = 0 −−−> y = kπ czyli tak jak zauważasz, cosy = ±1 ale przecież mamy warunek x² + y²=1 z tego warunku mamy: y² ∊ < 0 ; 1> −−−> y ∊ <−1 ; 1> i teraz dla jakich k zachodzi kπ ∊ <−1 ; 1> JEDYNIE dla k = 0 −−−. stąd y = 0 czyli cos(0) = +1 i nie ma problemu

wredulus_pospolitus: tylko wtedy się pojawia inny problem −−−> (0,0) nie spełnia warunków i jaki z tego wniosek wysnuć należy

Gabrysia: Nie ma ekstremów

Gabrysia: wredulus_pospolitus: Wniosek: nie ma ekstremów. Zgadza się?

ICSP: Ja również chętnie się dowiem dlaczego nie ma ekstremów.

wredulus_pospolitus: nie .. niby dlaczego miałoby nie być ekstremów? funkcja f(x,y) jest określona dla punktów (x,y) spełniających warunek x² + y² = 1 funkcja f(x,y) jest ciągła związku z tym (o ile nie jest stała −−− a łatwo wykazać że nie jest stała) to rozpatrując tylko te punkty (x,y) spełniające x²+y²=1 otrzymamy najmniejszą i największą wartość. Po prostu te wartości NIE SĄ ekstremami funkcji f(x,y) rozpatrując to globalnie. To co chciałaś zrobić to znaleźć ekstrema funkcji f(x,y) w wersji ogólnej i wybrać z nich te które spełniają warunek dany w zadaniu. Zauważ, że w zadaniu jest podane określenie "znaleźć max i min funkcji przy takim warunku". To może inaczej, gdybyś miała zadanie: znaleźć max i min funkcji f(x) = (x+3)(x+2)(x−1) przy warunku x > 1 to przecież byś nie napisał, że 'ich nie ma bo ekstrema funkcji f(x) nie są w rozpatrywanym przedziale.

ICSP: wredulus przeczytałeś dokładnie polecenie? Zadanie ma na celu znalezienie najmniejszej i największej wartości funkcji f na zadanym zbiorze. Zbiór jest zwarty, funkcja ciągła, więc z twierdzenia Weierstrassa o osiąganiu kresów wiemy, że te wartości istnieją. Moim zdaniem w poście z dnia wczorajszego o godzinie 20:05 sugerujesz, że dane min i max nie istnieje. Chyba, że coś źle zrozumiałem.

I'm back: Nie. Chciałem aby Gabrysia wysnula wniosek − − − moja metoda rozwiązania tego zadania jest błędna.

Gabrysia: To w końcu jak rozwiązać to zadanie

piotr: x=cosθ y=sinθ 0≤θ<2π (e⁽2 cos(θ)) − 2 e^cos(θ) cos(sin(θ)) + 1))⁽1/2) max dla θ = 0 min dla θ = π

piotr: (e^{2 cos(θ)} − 2 e^cos(θ) cos(sin(θ)) + 1))^1/2

Gabrysia: A jak policzyłem to max i min? Bo pochodną nie wychodzi przyjemna

Gabrysia: ?

a7: nie wiem czy to coś pomoże, ale wpisałam tę funkcję do wolframa https://www.wolframalpha.com/input/?i=+f%28x%2Cy%29%3D%E2%88%9A%28e%5E%282x%29%E2%88%922e%5Excos%28y%29+%2B1%29

Gabrysia: A jak to ma pomóż?

Mila: (e^2x−2e^x*cosy+1)^1/2=((e^x−cosy)²+sin²y)^1/2 Wartość najmniejsza funkcji: f(x,y)=√(e^x−cosy)²+sin²y przy warunku x²+y²=1 x=±√1−y² gdzie : −1≤y≤1 1) g(y)=(e^√1−y2−cosy)²+sin²y dla y=−1 lub y=1 teraz badaj wartości dla y=−1 lub y=1 , y=0 g(1)=(e⁰−cos(1))²+sin²(1)=2−2cos(1) g(−1)=g(1) g(0)=(e¹−cos(0))²+sin²(0)=e−1 wartość największa dla (1,0) f(0,1)=√2−2cos(1) f(1,0)=e−1 Może obliczysz teraz pochodną g(y) sprawdzisz, czy to prawda.

Gabrysia: Czemu sprawdzasz dla y=0?

Mila: Jeszcze trzeba sprawdzić przypadek: x=−√1−y² g(y)=(e^−√1−y2−cosy)²+sin²y otrzymasz nowe wartości:

Iryt: Pochodna jest brzydka, może inną metodą trzeba.

Iryt: − mnożniki Lagrange'a zastosuj. W internecie masz przykłady rozwiązane.

Gabrysia: Mnożniki Lagrange'a też nie działają w tym przykładzie.

Mila: To dokończ 22:05