matematykaszkolna.pl
równania różniczkowe Sigma: Jak znaleźć czynnik całkujący dla równania (2y−x+1)dx−(x−3y2)dy=0
18 lip 09:37
Mariusz: Równanie cząstkowe czynnika całkującego
δμP δμQ 

=

δy δx 
δμ δP δμ δQ 

P+μ

=

Q+μ

δy δy δx δx 
 δP δQ δμ δμ 
μ

−μ

=

Q−

P
 δy δx δx δy 
 δP δQ δμ δμ 
μ(


)=

Q−

P
 δy δx δx δy 
Zakładasz że μ(x,y) = F(ω(x,y))
 δP δQ δμδω δμδω 
μ(


)=


Q−


P
 δy δx δωδx δωδy 
 δP δQ δμ δω δω 
μ(


)=

(

Q−

P)
 δy δx δω δx δy 
 
δP δQ 


δy δx 
 

=

μ 
δω δω 

Q−

P
δx δy 
 
 
δP δQ 


δy δx 
 
Jeżeli

=φ(ω)
 
δω δω 

Q−

P
δx δy 
 
to μ(x,y) = F(ω(x,y))
 
δP δQ 


δy δx 
 
czyli jeżeli iloraz

 
δω δω 

Q−

P
δx δy 
 
będzie funkcją zależną od ω to czynnik całkujący także będzie zależał od ω Problem tym że znalezienie funkcji ω nie jest aż takie łatwe Łatwiej byś miał gdybyś miał podaną funkcję ω(x,y) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Możliwe że jakieś podstawienie ułatwi poszukiwanie czynnika całkującego ja jednak takowego nie widzę Do poczytania http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon25/mon2503.pdf Ciebie powinien zainteresować §21 oraz §29
18 lip 12:23
Sigma: Wiem jak się szuka czynnik całkujący, ale tutaj nie wiem jak go znaleźć. Może w jakimś programie da się go obliczyć?
18 lip 12:26
Mariusz: A nie masz podanej funkcji którą ja tutaj nazwałem ω ? Miałbyś wtedy łatwiej bo czynnik całkujący nie zależy tylko od jednej zmiennej x albo y Nie wydaje się aby był to czynnik całkujący o rozdzielonych zmiennych Czynnik całkujący o rozdzielonych zmiennych jest postaci μ(x,y)=f(x)g(y) W rosyjskich książkach możesz znaleźć jeszcze taki sposób szukania czynnika całkującego (2y−x+1)dx−(x−3y2)dy=0 2ydx −(x−1)dx − xdy+3y2dy=0 (2ydx − xdy = 0)|: (xy) −(x−1)dx +3y2dy=0
2 1 

dx−

dy=0
x y 
2ln|x|−ln|y|=C
x2 

=C1
y 
 x2 
U1(x,y)=

 y 
 1 

(x−1)2+y3=C2
 2 
 1 
U2(x)=y3

(x−1)2
 2 
 1 x2 
μ1(x,y)=

, U1(x)=

 xy y 
 1 
μ2(x,y)=1 , U2(x)=y3

(x−1)2
 2 
 1 x2 
μ(x,y) =

F(

)
 xy y 
 1 
μ(x,y) = G(y3

(x−1)2)
 2 
Jeżeli udałoby ci się znaleźć takie funkcje F oraz G aby
1 x2 1 

F(

)=G(y3

(x−1)2)
xy y 2 
to mógłbyś odtworzyć czynnik całkujący
18 lip 15:46