równania różniczkowe Sigma: Jak znaleźć czynnik całkujący dla równania (2y−x+1)dx−(x−3y²)dy=0

Mariusz: Równanie cząstkowe czynnika całkującego

δμP		δμQ
	=
δy		δx

δμ		δP		δμ		δQ
	P+μ		=		Q+μ
δy		δy		δx		δx

	δP		δQ		δμ		δμ
μ		−μ		=		Q−		P
	δy		δx		δx		δy

	δP		δQ		δμ		δμ
μ(		−		)=		Q−		P
	δy		δx		δx		δy

Zakładasz że μ(x,y) = F(ω(x,y))

	δP		δQ		δμ	δω		δμ	δω
μ(		−		)=			Q−			P
	δy		δx		δω	δx		δω	δy

	δP		δQ		δμ		δω		δω
μ(		−		)=		(		Q−		P)
	δy		δx		δω		δx		δy

dμ		δP   δQ   − δy   δx
	=		dω
μ		δω   δω   Q− P δx   δy

	δP   δQ   − δy   δx
Jeżeli		=φ(ω)
	δω   δω   Q− P δx   δy

to μ(x,y) = F(ω(x,y))

	δP   δQ   − δy   δx
czyli jeżeli iloraz
	δω   δω   Q− P δx   δy

będzie funkcją zależną od ω to czynnik całkujący także będzie zależał od ω Problem tym że znalezienie funkcji ω nie jest aż takie łatwe Łatwiej byś miał gdybyś miał podaną funkcję ω(x,y) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Możliwe że jakieś podstawienie ułatwi poszukiwanie czynnika całkującego ja jednak takowego nie widzę Do poczytania http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon25/mon2503.pdf Ciebie powinien zainteresować §21 oraz §29

Sigma: Wiem jak się szuka czynnik całkujący, ale tutaj nie wiem jak go znaleźć. Może w jakimś programie da się go obliczyć?

Mariusz: A nie masz podanej funkcji którą ja tutaj nazwałem ω ? Miałbyś wtedy łatwiej bo czynnik całkujący nie zależy tylko od jednej zmiennej x albo y Nie wydaje się aby był to czynnik całkujący o rozdzielonych zmiennych Czynnik całkujący o rozdzielonych zmiennych jest postaci μ(x,y)=f(x)g(y) W rosyjskich książkach możesz znaleźć jeszcze taki sposób szukania czynnika całkującego (2y−x+1)dx−(x−3y²)dy=0 2ydx −(x−1)dx − xdy+3y²dy=0 (2ydx − xdy = 0)|: (xy) −(x−1)dx +3y²dy=0

2		1
	dx−		dy=0
x		y

2ln|x|−ln|y|=C

x2
	=C1
y

	x2
U1(x,y)=
	y

	1
−		(x−1)2+y3=C2
	2

	1
U2(x)=y3−		(x−1)2
	2

	1		x2
μ1(x,y)=		, U1(x)=
	xy		y

	1
μ2(x,y)=1 , U2(x)=y3−		(x−1)2
	2

	1		x2
μ(x,y) =		F(		)
	xy		y

	1
μ(x,y) = G(y3−		(x−1)2)
	2

Jeżeli udałoby ci się znaleźć takie funkcje F oraz G aby

1		x2		1
	F(		)=G(y3−		(x−1)2)
xy		y		2

to mógłbyś odtworzyć czynnik całkujący