zadanie dowodowe wdm: Uzasadnij, że zachodzi następująca równość zbiorów (A x B)\(C x D)=[(A\C) x B] ∪ [A x (B\D)] Czy ktoś wie jak porządnie przeprowadzić ten dowód? Byłbym bardzo wdzięczny.

chichi: Niech (x,y) ∊ L będzie dowolne. (x,y) ∊ (A x B) \ (C x D) ↔ ↔ (x,y) ∊ A x B ∧ ¬(x,y) ∊ C x D ↔ ↔(x∊A ∧ y∊B) ∧ ¬(x∊C ∧ y∊D) ↔ ↔(x∊A ∧ y∊B) ∧ (¬x∊C ∨ ¬y∊D) ↔ ↔[(x∊A ∧ y∊B) ∧ ¬x∊C] ∨ [(x∊A ∧ y∊B) ∧ ¬y∊D] ↔ ↔[(x∊A ∧ ¬x∊C) ∧ y∊B] ∨ [x∊A ∧ (y∊B ∧ ¬y∊D)] ↔ ↔ (x∊A\C ∧ y∊B) ∨ (x∊A ∧ y∊B\D) ↔ ↔ (x,y) ∊ (A\C) x B ∨ (x,y) ∊ A x (B\D) ↔ ↔ (x,y) ∊ [(A\C) x B] ∪ [A x (B\D)] ↔ ↔ (x,y) ∊ P Z dowolności (x,y) otrzymujemy równość (A x B) \ (C x D) = [(A\C) x B] ∪ [A x (B\D)] □

wdm: Dziękuję za pomoc. Mam jeszcze takie jedno zadanie, którego nie potrafię rozwiązać więc proszę Państwa o pomoc. Z góry dziękuję. W zbiorze N^N (ciągów liczb naturalnych) wprowadźmy relację R w następujący sposób: (a_n)R(b_n) ↔ ∀ n∊N (a_n≤b_n) Udowodnić, że zbiór N^N jest częściowo uporządkowany.

chichi: A wiesz czym jest częściowy porządek? bo jeśli tak, to to zadanie nie powinno sprawiać Ci problemu

wdm: Mniej więcej rozumiem to pojęcie, ale i tak mam problem z udowodnieniem tego, także prosiłbym Was o pomoc.

ite: Ale chichiemu chodziło o znajomość definicji i sprawdzenie , czy podane w niej warunki są spełnione. To wszystko, co trzeba zrobić.

wdm: Ja właśnie mam problem ze sprawdzeniem tych warunków, dlatego proszę o pomoc.

chichi: Niech (a_n) ∊ N^N będzie dowolne. Niech n∊N wówczas a_n ≤ a_n Z dowolności n, mamy ∀n∊N (a_n ≤ a_n) ⇒ (a_n)R(a_n), stąd R jest zwrotna. Niech (a_n),(b_n) ∊ Nⁿ będą dowolne. Zał. że (a_n)R(b_n) oraz (b_n)R(a_n) tzn. ∀n∊N (a_n ≤ b_n) oraz ∀n∊N (b_n ≤ a_n) Niech n∊N, dowolne. Wtedy z zał. a_n ≤ b_n oraz b_n ≤ a_n stąd a_n=b_n Z dowolności n mamy ∀n∊N (a_n=b_n) ⇒ (a_n)=(b_n), stąd R jest antysymetryczna. Niech (a_n),(b_n),(c_n) ∊ N^N będą dowolne. Zał. że (a_n)R(b_n) oraz (b_n)R(c_n) tzn. ∀n∊N (a_n ≤ b_n) oraz ∀n∊N (b_n ≤ c_n) Niech n∊N będzie dowolne. Wtedy z zał. : a_n ≤ b_n oraz b_n ≤ c_n stąd a_n ≤ c_n. Z dowolności n∊N mamy ∀n∊N (a_n ≤ c_n) ⇒ (a_n)R(c_n), stąd R jest przechodnia. ⇒ <N^N, R> jest zbiorem częściowo uporządkowanym!