całka Sabka: Jak obliczyć całkę oznaczoną z [1 − 2x²] : [√( 1 − x² )( x⁴ − x² + 1) ] dx w granicach od 1 do −1 ?

Mariusz:

	1−2x2
∫−11		dx
	√(1−x2)(x4−x2+1)

Funkcja podcałkowa jest parzysta na przedziale symetrycznym względem zera więc możemy ją zapisać jako

	1−2x2
2∫01		dx
	√(1−x2)(x4−x2+1)

Zastosujmy podstawienie

	x
t=
	√1−x2

x=0 , t = 0 x=1 , t→∞

	(−x2)   sqrt{1−x2}−   √1−x2
dt=		dx
	1−x2

	1
dt=		dx
	(1−x2)√1−x2

	x2
t2=
	1−x2

	x2−1+1
t2=
	1−x2

	1
t2=−1+
	1−x2

	1
t2+1=
	1−x2

1
	=1−x2
1+t2

	1
x2=1−
	1+t2

	t2
x2=
	1+t2

	(1−2x2)(1−x2)
2∫01		dx
	(1−x2)√1−x2√x4−x2+1

(1−2x2)(1−x2)
√x4−x2+1

	2t2		t2
(1−		)(1−		)
	1+t2		1+t2

1−t2
(1+t2)2

	t2(1+t2)		(1+t2)2
U{t4}{(1+t2)2−		+
	(1+t2)2		(1+t2)2

t4−t2−t4+1+2t2+t4
(1+t2)2

t4+t2+1
(t2+1)2

	1−t2   (t2+1)2
2∫0∞		dt
	√t4+t2+1   t2+1

	1−t2	t2+1
2∫0∞			dt
	(t2+1)2	√t4+t2+1

	t2−1
−2∫0∞		dt
	(t2+1)√t4+t2+1

Obliczmy najpierw nieoznaczoną

	1   1−   t2
−2∫		dt
	1   (1+ )√t2(t2+1+1/t2)   t2

	1   1−   t2
−2∫		dt
	1   (t+ )√(t2+1+1/t2)   t

	1   1−   t2
−2∫		dt
	1   (t+ )√(t+1/t)2−1   t

	1
y = t +
	t

	1
dy = (1 −		) dt
	t2

	1
−2∫		dy
	y√y2−1

Tutaj jeśli lubimy podstawienie Eulera to używamy to pierwsze a jeśli nie to wystarczy nam podstawienie za pierwiastek u = √y²−1

	y
du =		dy
	√y2−1

u²=y²−1 y²=u²+1

	y		1
−2∫		dy=−2∫		du
	y2√y2−1		u2+1

−2arctg(√y²−1)+C₁ −2arctg(√(t+1/t)²−1)+C₁ −2arctg(√t²+1+1/t²)+C₁

	√t4+t2+1
−2arctg(		)+C1
	t

	t
=2arctg(		)+C2
	√t4+t2+1

	t
=limt→∞ 2arctg(		) −arctg(0))
	√t4+t2+1

Coś tu jest nie tak , może ktoś wskaże błąd

luui: Podstawienie trygonometryczne ładnie uprości całkę

	1 − 2x2
S = 2 0∫1		dx
	√(1 − x2)(x4 − x2 + 1)

x = siny dx = cosy dy

	1 − 2sin2y
S = 2 0∫π/2		cosy dy
	√cos2y(sin4y − sin2y + 1)

	cos(2y)
S = 2 0∫π/2		dy
	√sin4y − sin2y + 1

	cos(2y)
S = 2 0∫π/2		dy
	√sin4y + cos2y

Tylko co dalej? O ile tędy droga...

luui:

	π
y = u +
	4

	cos(2u+π/2)
S = 2 −π/4∫π/4		du
	√sin4(u+π/4) + cos2((u+π/4)

	−sin(2u))
S = 2 −π/4∫π/4		du
	√sin4(u+π/4) + cos2((u+π/4)

	√2		√2		√2		√2
Pierwiastek = (		cosu +		sinu)4 + (		cosu −		sinu)2 =
	2		2		2		2

= 3/4 + sin²u cos²u

	−sin(2u))
S = 2 −π/4∫π/4		du
	√3/4 + sin2u cos2u

Funkcja podcałkowa jest nieparzysta, a granice są przeciwne ⇒ całka = 0.

Mariusz: Z moich obliczeń też wyszło zero luui to prędzej podstawienie cyklometryczne Myślisz że skąd ja wziąłem to pierwsze podstawienie (złożyłem podstawienie trygonometryczne z cyklometrycznym) Trochę zdziwiło mnie że wynik wyszedł zero Tutaj nieoznaczoną też można policzyć elementarnie

jc: ∫₋₁¹ ... dx = 2 ∫₀¹ ... dx (mamy funkcję parzystą)

	−ydy
Zamiana zmiennych x=√1−y2, dx =		daje nam całkę
	√1−y2

	1−2y2
∫10		dy
	√(1−y2)(1−y2+y4)

Ale ∫₁⁰ .. dy = − ∫₀¹ ... dy czyli całka = −całka. Wniosek: całka = 0.

Mariusz: jc z moich obliczeń też wyszło zero Ja nie miałem pomysłu na podstawienie i liczyłem tak jakby była to nieoznaczona Tylko na początku skorzystałem z parzystości funkcji podcałkowej Twoje podstawienie jest całkiem niezłe