Wzór ogólny ciągu rekurencyjnego bads: Wzór ogólny ciągu rekurencyjnego a_n= a_n−1+20 a_n−2 dla n>1 Wyliczyłem, z a₀=5 oraz a₁=−2 że: a₂=98 a₃=58 a₄=2018 a₅=3178 Ktoś ma jakiś pomysł na wzór ogólny?

Mariusz: A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ ∑_n=2^∞a_nxⁿ=∑_n=2^∞a_n−1xⁿ+∑_n=2^∞20a_n−2xⁿ

Mariusz: ∑_n=2^∞a_nxⁿ=x(∑_n=2^∞a_n−1xⁿ⁻¹)+20x²(∑_n=2^∞a_n−2xⁿ⁻²) ∑_n=2^∞a_nxⁿ=x(∑_n=1^∞a_nxⁿ)+20x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ) ∑_n=0^∞a_nxⁿ−5+2x=x(∑_n=0^∞a_nxⁿ−5)+20x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ) A(x)−5+2x=x(A(x)−5)+20x²A(x) A(x)(1−x−20x²)=−7x+5

	−7x+5
A(x)=
	1−x−20x2

	−7x+5
A(x)=
	(1−5x)(1+4x)

A(1−5x)+B(1+4x)		−7x+5
	=
(1−5x)(1+4x)		(1−5x)(1+4x)

A+B=5 −5A+4B=−7 5A+5B=25 −5A+4B=−7 9B=18 B=2 A=3

	3		2
A(x)=		+
	(1+4x)		1−5x

A(x)=3(∑_n=0^∞(−4)ⁿxⁿ)+2(∑_n=0^∞5ⁿxⁿ) A(x)=∑_n=0^∞(3*(−4)ⁿ+2*5ⁿ)xⁿ a_n = 3*(−4)ⁿ+2*5ⁿ

Mila: a_n= a_n−1+20 a_n−2 dla n>1, a₀=5, a₁=−2 1) Równanie charakterystyczne: x²−x−20=0 x=−4 ⋁x=5 2)Przewidywana postać rozwiązania: a_n= A*(−4)ⁿ+B*5ⁿ a₀=5=A*1+B*1 a₁=−2=A*(−4)+B*5 stąd A=3 i B=2 a_n=3*(−4)ⁿ+2*5ⁿ ============

Mariusz: No i mamy też równanie charakterystyczne Można też przekształcić to równanie w układ równań i rozwiązać go potęgując macierz Gdyby pojawiła się część niejednorodna to można byłoby uzmienniać stałe analogicznie do tego jak to się robiło w równaniach różniczkowych