trójkat Roberto: W trójkacie o bokach a,b,c i polu P wykaż że

	√3(a2+b2+c2)
P≤
	12

wakacje:

	a+b+c
ze wzoru Herona: P=√p(p−a)(p−b)(p−c), p=		→ 2p=a+b+c
	2

P=√p(p−a)(p−b)(p−c) |*4 4P=4√p(p−a)(p−b)(p−c) 4P=√2p2(p−a)2(p−b)2(p−c) 16P²=2p(2p−2a)(2p−2b)(2p−2c) 16P²=(a+b+c)(a+b+c−2a)(a+b+c−2b)(a+b+c−2c) 16P²=(a+b+c)(b+c−a)(a+c−b)(a+b−c) nierówność:

	√3(a2+b2+c2)
P≤
	12

	√3(a2+b2+c2)
4P≤
	3

	3(a2+b2+c2)2
16P2≤
	9

	(a2+b2+c2)2
16P2≤
	3

	(a2+b2+c2)2
(a+b+c)(b+c−a)(a+c−b)(a+b−c)≤
	3

3(a+b+c)(b+c−a)(a+c−b)(a+b−c)≤(a²+b²+c²)² −3c⁴+6b²c²+6a²c²−3b⁴+6a²b²−3a⁴≤c⁴+2b²c²+2a²c²+b⁴+2a²b²+a⁴ 0≤4c⁴−4b²c²−4a²c²+4b⁴−4a²b²+4a⁴ 2c⁴−2b²c²−2a²c²+2b⁴−2a²b²+2a⁴≥0 a⁴−2a²b²+b⁴+a⁴−2a²c²+c⁴+b⁴−2b²c²+c⁴≥0 (a²−b²)²+(a²−c²)²+(b²−c²)²≥0, cnw.

chichi:

	√3
P ≤		(a2+b2+c2) ⇔ 4√3P ≤ a2+b2+c2
	12

a²+b²+c² ≥ ab + bc + ac ≥ a√bc + b√ac + c√ab ≥ 18Rr ≥ 4√3P □

FWP: Największe pole ma trójkąt równoboczny 4P≤a²√3 4P≤b²√3 4P≤c²√3 +−−−−−−−−− 12P≤√3(a²+b²+c²)

	√3(a2+b2+c2)
P≤
	12