równanie Lidia:

	4x * √y * log(x)
Rozwiąż równanie y' =		przy y(1) = 1.
	(x2+1)2

Mariusz: Rozdzielasz zmienne

y'		4xlog(x)
	=
√y		(x2+1)2

y'		8xlog(x)
	=
2√y		(x2+1)2

dy		8xlog(x)
	=		dx
2√y		(x2+1)2

	8xlog(x)
Całkę ∫		dx
	(x2+1)2

liczysz przez części różniczkując logarytm

Mariusz: Oj chyba ma być

y'		2xlog(x)
	=
2√y		(x2+1)2

Na końcu obliczasz stałą z warunku początkowego Gdyby nie warunek początkowy to na koniec należałoby sprawdzić czy y=0 jest zawarte w całce ogólnej równania bo dzieląc założyliśmy że y ≠ 0

Lidia: Czy bedzie tak:

	log(x)		log(x2+1)
√y = −		+ log|x| −		+ c
	x2+1		2

Mariusz: Po scałkowaniu przez części otrzymujemy

	2x
du =		dx v = log(x)
	(x2+1)2

Przyjmując że log(x) = ln(x) otrzymamy (Jeżeli log(x) ≠ ln(x) to należy zastosować wzór na zmianę podstawy logarytmu)

	2x
du =		dx v = log(x)
	(x2+1)2

	1		1
u = −		dv =		dx
	x2+1		x

	2xlog(x)		log(x)		1
∫		dx = −		+∫		dx
	(x2+1)2		x2+1		x(x2+1)

	2xlog(x)		log(x)		1+x2−x2
∫		dx = −		+∫		dx
	(x2+1)2		x2+1		x(x2+1)

	2xlog(x)		log(x)		1		x
∫		dx = −		+∫		dx−∫		dx
	(x2+1)2		x2+1		x		x2+1

	2xlog(x)		log(x)		1
∫		dx = −		+log|x|−		log(x2+1)+C
	(x2+1)2		x2+1		2

Zatem masz dobrze Teraz oblicz z warunku początkowego stałą

Lidia: Bedą dwie stałe?

Mariusz: Masz jedną stałą i ją obliczasz z warunku początkowego

Lidia: A jak ją policzyć skoro mam √y a nie y ?

Mariusz: Za y oraz za x wstawiasz jedynkę i masz

	log(2)
1 = −		+C
	2

	log(2)
C=1+
	2

Lidia: Aha to tak dzieki