ciągi
xym: | | 1 | |
Niech 0<c< |
| , a1=0, an+1=c(an3−1)+1. Uzasadnij że |
| | 3 | |
| | 1 | |
a12+a22+...+an2>n− |
| |
| | 1−3c | |
2 lip 12:00
Adamm:
Udowodnię słabszą nierówność. Może da się z tego wyciągnąć silniejszą.
0 ≤ a
n ≤ 1
a
n+1 = c(a
n3−1)+1 = c(a
n−1)(a
n2+a
n+1)+1 ≥ 3c(a
n−1)+1
a
n+1 ≥ 1−(3c)
n
Stąd
| | 1 | |
∑ ai ≥ n + ∑ −(3c)i−1 > n − |
| |
| | 1−3c | |
3 lip 11:18
Adamm:
rozpisując wzór rekurencyjny a
n dostaniemy równoważną nierówność
3 lip 11:30
xym: A czemu te nierówności są równoważne?
3 lip 12:02
Adamm:
bo dostaniesz an3 ≥ 1 − 3(3c)n−1
3 lip 12:13