ciągi Chik: Dany jest ciąg a_n zdefiniowany tak a₁=1, a_2n=a_2n−1+n, a_2n+1=2a_2n−n (n=1,2,3,...). Oblicz ∑_k=1²ⁿ a_k

Mariusz: Funkcja tworząca twojego ciągu to A(x)=∑_n=1^∞a_nxⁿ

	x6+x5−3x4−x3+2x2+x
A(x)=
	(1−x2)2(1−2x2)

Mając funkcję tworzącą ciągu łatwo dostaniesz wzór jawny a następnie policzysz sumę

Chik: Tylko za pomocą funkcji tworzącej da sie to zrobić

Mariusz: Funkcja tworząca ciągu sum częściowych to

	1
S(x)=		A(x)
	1−x

i tę funkcję rozkładaj na sumę szeregów geometrycznych i ich pochodnych tylko ciebie interesuje nie wartość s_n ale s_2n "Tylko za pomocą funkcji tworzącej da sie to zrobić" a co wywalili ci ją z programu , jaki masz z tym problem ?

Mariusz: Jeżeli chodzi o tę sumę to otrzymałem

	1
sn=−		(n2+5n+12)+6*2n
	2

student: Da sie zrobić normalnie

Chik: Student a jak?

Mariusz: Do rozwiązania z użyciem funkcji tworzącej mogliby się przyczepić tylko jeśli nie wprowadzili ci ich na wykładzie Miałeś je wprowadzone na wykładzie czy jest to jakaś nieuzasadniona niechęć

kerajs: Bez funkcji tworzącej: Dzielę ciąg { a_n} na podciąg {q_n} zawierający wyrazy z indeksami nieparzystymi oraz na podciąg {p_n} zawierający wyrazy z indeksami parzystymi. Daje to układ zależności: p_n=q_n+n ∧ q_n=2p_n−1−(n−1) Wstawiając drugie równanie do pierwszego mam równanie rekurencyjne p_n=2p_n−1+1 czyli p_n=A2ⁿ+B Wykorzystując warunki początkowe p₁=a₂=2 , p₂=a₄=5 dostaje się układ

	3
2=2A+B ∧ 5=4A+B , a z niego wzór ogólny pn=		2n−1 .
	2

Podstawiając go do drugiego równania z układu uzyskuje się

	3		3
qn=2(		2n−1−1)−(n−1)=		2n−n−1
	2		2

Szukana suma ∑_k=1²ⁿa_k=∑_k=1ⁿ(q_k+p_k)=∑_k=1ⁿ(3*2^k−k−2)=

	2(2−2n)		n(n+1)		n2+5n+12
=3		−		−2n=6*2n−
	1−2		2		2