Rozwiąż różne równania różniczkowe Damian#UDM: Rozwiąż różne równania różniczkowe 1. y*y''=2(y')² 2.

⎧	y'−2√y ex ln(x)√x −2y=0
⎩	y(1)=0

Proszę nakierować jakich metod tutaj trzeba użyć, ponieważ nie wiem

jc: (y⁻²y')' = y⁻²y'' − 2y⁻³*y')² =(yy'' − 2(y')²)y⁻³ =0 y⁻²y' = C −1/y = Cx + D

Damian#UDM: Masakra, ja nie wiem jak można na takie rzeczy wpadać Mega zazdroszczę!

jc: To wprawa w różniczkowaniu. Pewnie widzisz, że wyrażenie 4x²+4xy+y² zwija się do (2x+y)². To coś podobnego.

Damian#UDM: Nie rozumiem tego przekształcenia do końca Jak ja rozpisze to mam (y⁻²y')'=y⁻²y''−2y⁻³y'=(y*y''−2y')*y⁻³ Co jest nie tak?

Damian#UDM: Swoje obliczenia wykonałem za pomocą pochodnej iloczynu

jc: Pominąłeś pochodną funkcji wewnętrznej. (1/y²)' = (−2/y³) y'

Damian#UDM: Okej, czyli jak robię pochodną z pochodnej to tylko kreskę dodaje? A jak z funkcji na przykład y⁴ To 4y³*y' ?

Mariusz: Co do pierwszego to można podstawieniem y'=u(y) y''=u'(y)y' y''=u'(y)u(y) yuu' = 2u²

uu'		2
	=
u2		y

u'		2
	=
u		y

ln|u|=2ln|y|+C₁ u=C₂y² y'=C₂y²

y'
	=C2
y2

	1
−		=C1x+C2
	y

	1
y=−
	C1x+C2

Jeśli chodzi o drugie równanie to jest to równanie Bernoulliego

	lnx
y'−2y=2√yex
	√x

u=y^1−1/2 u=y^1/2

	1
u'=		y−1/2y'
	2

1		lnx
	y−1/2y'−y−1/2y=y−1/2√yex
2		√x

	lnx
u'−u=ex
	√x

i masz równanie liniowe u'−u=0 u'=u

du
	=dx
u

ln|u|=x+C u=Ce^x u(x)=C(x)e^x

	lnx
u'−u=ex
	√x

	lnx
C'(x)ex+C(x)ex−C(x)ex=ex
	√x

	lnx
C'(x)=
	√x

	1
C(x)=2√xlnx − 2∫		dx
	√x

C(x)=2√xlnx − 4√x u=Ce^x+(2√xlnx − 4√x)e^x u=(2√xlnx − 4√x+C)e^x y^1/2=(2√xlnx − 4√x+C)e^x y=(2√xlnx − 4√x+C)²e^2x 0=( − 4+C)²e² C=4 y=(2√xlnx − 4√x+4)²e^2x

Mariusz: Można takie równania rozwiązywać schematycznie tylko ty nie umiesz się uczyć skaczesz po tematach nie nauczywszy się porządnie wcześniejszych

Damian#UDM: Chciałbym bardzo po kolei, ale teraz niestety mam ogrom obowiązków

Damian#UDM: Dziękuję za wasze rozwiązania!