Długość łuku wakacje: Oblicz długość łuku krzywej: 16y²=49x³, x∊<0;2> do policzenia tej długości potrzebuje pochodnej 16y²=49x³

	d		d
		(16y2)=		(49x3)
	dx		dx

	dy
32y		=147x2
	dx

	dy		147x2
		=
	dx		32y

czy można to jakoś zrobić w ten sposób? bo nie wiem w takim razie co z tym 'y'

Mariusz:

	49
y2=		x3
	16

	7
y=±		x√x , w zadanym przedziale wybierasz to z +
	4

	7
y=		x3/2
	4

	21
y'=		x1/2
	8

	441
(y')2=		x
	64

∫₀²√1+441/64 xdx

	441
t2=1+		x
	64

	441
2tdt=		dx
	64

128
	tdt=dx
441

x = 0 , t = 1

	441
x = 2 ,t2 = 1+
	32

x = 0 , t = 1

	√946
x = 2 , t =
	8

128
	∫1√946/8t2dt
441

128		946√946
	(		−1)
1323		512

128		946√946−512
	(		)
1323		512

1		946√946−512
	(		)
1323		4

wakacje: dziękuję za rozwiązanie @Mariusz, pytanie tylko czy dałoby pominąć ten fragment, który wymusza wybranie znaku plus lub minus?

Mariusz: Może gdyby udało ci się znaleźć taką parametryzację tej krzywej która nie wymagałaby brania pierwiastków itp oraz taką aby x(t) była na zadanym przedziale rosnąca to wtedy mógłbyś pomyśleć o pominięciu tego fragmentu Tutaj masz akurat taki przedział dla którego możesz wybrać znak plus Gdybyś miał inny przedział musiałbyś rozbić przedział całkowania na podprzedziały i dla jednego przedziału wybrać znak minus a dla drugiego wybrać znak plus (i co mój wynik zgadza się z odpowiedziami ?)

wakacje: na jakiej podstawie stwierdzamy czy znak bierzemy z plusem czy minusem? tak, wynik się zgadza

Mariusz: Myślę że gdy narysujesz tę krzywą to będziesz widział dlaczego należy wziąć znak +

	7
a i dla ujemnych będziesz miał y=−		(−x)3/2
	4

Wcześniej nie zwróciłem na to uwagi ale ty ujemnymi nie musisz się przejmować bo twój x przyjmuje wartości dodatnie

wakacje: Narysowałem ten wykres w geogebrze i szczerze to trochę nie rozumiem, nie wiem skąd określić ten znak.. A gdyby była sytuacja taka jak powiedziałeś, że musiałbym rozbić przedział całkowania, to w jaki sposób wyznacza się ten punkt w którym następuje ta zmiana?

Mariusz: Jak masz y²=f(x) to po wzięciu pierwiastka bierzesz y = ± √f(x) przy czym zakładasz że f(x) > 0

	7
y(x) =		x√x
	4

	7
y(x) = −		x√x ,
	4

w obydwu przypadkach x > 0 Przypomnij sobie równanie okręgu x²+y²=1 y²=1−x² y = √1−x² będzie górną połową okręgu y = − √1−x² będzie dolną połową okręgu Tutaj masz coś podobnego

wakacje: To co napisałeś rozumiem, tylko problem w tym że nadal nie rozumiem zasady według której ustalamy który znak obieramy Z tego co napisałeś z tym okręgiem to jedyne rozgraniczenie między tymi dwoma przypadkami, jakie widzę, to wartość 'y' − może być igrek ujemny bądź dodatni

	49
Jeśli mamy ten mój pierwotny przykład, y2=		x3, to w jakim przedziale wybralibyśmy
	16

znak minus? Nie wiem jakoś kompletnie nie rozumiem o co tutaj chodzi, chyba nie potrafię na razie czegoś dostrzec

Mariusz: A co gdybyśmy mieli przedział np x∊<−a,b> gdzie a>0, b>0 ?