równanie Kaczor: rozwiąż równanie: x³+2x−2=0

Mila: Cardano.

Kaczor: a gdyby tylko odpowiedzieć na pytanie ile ono ma pierwiastków to z czego?

Ameha: Stopień nieparzysty mówi o tym, że równanie ma na pewno jedno rozwiązanie rzeczywiste. Dalej: Pochodna: 3x²+2 >0 dla x ∊ R, zatem funkcja rośnie dla x ∊ R − wniosek o liczbie pierwiastków nasuwa się sam

Kaczor: czyli ma jeden pierwiastek

wredulus_pospolitus: dokładnie

Mariusz: x³+2x−2=0 x=u+v (u+v)³+2(u+v)−2=0 u³+3u²v+3uv²+v³+2(u+v)−2=0

	2
u3+v3−2+3(u+v)(uv+		)=0
	3

u³+v³−2=0

	2
3(u+v)(uv+		)=0
	3

u³+v³−2=0

	2
uv+		=0
	3

u³+v³=2

	2
uv=−
	3

u³+v³=2

	8
u3v3=−
	27

	8
t2−2t−		=0
	27

	35
(t−1)2−		=0
	27

	√105		√105
(t−1−		)(t−1+		)=0
	9		9

	27+3√105		27−3√105
(t−		)(t−		)=0
	27		27

	1
u+v =		(3√27+3√105+3√27−3√105)
	3

	1
x =		(3√27+3√105+3√27−3√105)
	3

Tutaj założyłem że pierwiastek jest w postaci sumy dwóch składników i skorzystałem ze wzoru skróconego mnożenia Wyrazy równania pogrupowałem a następnie zapisałem równanie w postaci układu równań u³+v³−2=0

	2
3(u+v)(uv+		)=0
	3

Tutaj iloczyn będzie zero jeśli jeden z czynników będzie równy zero ale przyjęliśmy że x = u+v więc tego czynnika nie przyrównujemy do zera Zostaje nam więc u³+v³−2=0

	2
(uv+		)=0
	3

Tutaj zauważyłem że łatwo ten układ równań przekształcić we wzory Vieta dla równania kwadratowego o pierwiastkach u³ oraz v³ Po rozwiązaniu równania kwadratowego otrzymujemy u³ oraz v³ Pierwiastki trzeciego stopnia z tych liczb dobieramy tak aby spełniony był następujący układ równań u³+v³=2

	2
uv=−
	3

	2
a szczególnie aby spełnione było równanie uv=−
	3

Gdy już dobierzemy jedną parę pierwiastków trzeciego stopnia z u³ oraz v³ pozostałe można uzyskać mnożąc znalezione u₀ oraz v₀ przez pierwiastki trzeciego stopnia z jedynki przy czym pierwiastki trzeciego stopnia z jedynki dobieramy tak aby spełniony był układ równań u³+v³=2

	2
uv=−
	3

	2
a szczególnie aby spełnione było równanie uv=−
	3

chichi: Harriot's Method: x³+2x=2

	2
2c3=2 ⇒ c3=1 ∧ 3b2=2 ⇒ b2=
	3

	2
d3=1+√3527 ⇒ x= 3√1+√1059−
	3 3√1+√1059

Mariusz: Fajnie tylko że masz dzielenie , przez co możesz dostać np dzielenie przez zero ale jakie to modne Poza tym już Francois Viete z tego pomysłu korzystał przed Harriotem

Mila: x³+2x−2=0

	p		q
Δ=(		)3+		)2
	3		2

p=2, q=−2

	2		−2		8
Δ=(		)3+		)2=		+1>0
	3		2		27

1)Δ>0 − jeden pierwiastek rzeczywisty Inne przypadki 2) Δ=0− 3 rzeczywiste x₁=x₂=³√q/2, x₃=−2³√q/2 3) Δ<0 − 3 rzeczywiste